Комплексное число это число вида
,
где
- мнимая единица. Таким образом,
.
Действительное число x
называется действительной частью числа
z,
а действительное число y
называется мнимой частью числа z.
Действительная часть числа z
обозначается Re z,
мнимая часть z
обозначается Im z.Комплексные числа можно складывать, умножать и делить по следующим правилам. Пусть
и
- комплексные числа, тогда1)
;2)
;3)
.Комплексные числа и
называются сопряженными.Число
называется модулем комплексного числа
.Если на плоскости введена декартова прямоугольная система координат 0xy, то всякому комплексному числу может быть поставлена в соответствие некоторая точка
с абсциссой x
и ординатой y.
В этом случае плоскость называется
комплексной плоскостью, ось 0x
- действительной осью, а ось 0y
- мнимой осью.Модуль комплексного числа равен расстоянию точки от начала координат. Угол j, который образует отрезок, соединяющий точку и начало координат с положительным направлением оси 0x называется аргументом комплексного числа z. Этот угол удовлетворяет соотношениям
, 
.Угол j определяется с точностью
,
где k
- целое число.Всякое комплексное число может быть записано в тригонометрической форме
,
обозначается
через
.
В этом случае получается показательная
форма комплексного числа
.Показательная форма комплексного числа
Как было показано в главе 5, комплексное число вида может быть записано в виде
,
т.е.
,что позволяет находить действительную и мнимую части комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.
Пример. Найти Rez и Imz, если
.
; 
;
; 
; 
.Задание n 10
Найти действительную и мнимую части комплексных чисел.
1)
8)
15)
2)
9)
16)
3)
10)
17)
4)
11)
18)
5)
12)
19)
6)
13)
20)
7)
14)
Задание № 11
Заданы два комплексных числа
и
:а) изобразить эти числа на комплексной плоскости;
б) найти
и
;в) найти
и
;г) найти
и
.1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Возводя комплексное число, записанное в показательной форме, в n-ю степень, получаем:
или в тригонометрической форме (формула
Муавра):
.Пусть
- фиксированное комплексное число.
Тогда уравнение
,
где n
- натуральное число, имеет ровно n
различных решений
,
,
...,
.
Эти решения задаются формулой
,где
;
- действительное положительное число.Числа
для
называются корнями n-й
степени из комплексного числа z
и обозначаются символом
.Пример
Дано:
; 
; 
.Записать в тригонометрической форме;
записать в показательной форме;
найти
и записать в виде
;найти
.Решение
;
;
;
.1. Тригонометрическая форма:
.2. Показательная форма:
.3.
4.
:1)
:
;2)
:
;3)
:
.Примечание. Коэффициенты вычисляются при помощи калькулятора.
Задание № 12
Вычислить
и
.1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
