12Геометрическое приложение определенного интеграла
Геометрическим смыслом определенного интеграла является площадь криволинейной трапеции. В частном случае это может быть площадь, ограниченная параболой и осью Ox
.
Пример.
Найти площадь, ограниченную осью Ox
и параболой
.
Находим точки пересечения с осью Ox:
,
отсюда получаем:
;
.
Задание n 27
Найти площадь, ограниченную параболой и осью 0x.
1)
|
8)
|
15)
|
2)
|
9)
|
16)
|
3)
|
10)
|
17)
|
4)
|
11)
|
18)
|
5)
|
12)
|
19)
|
6)
|
13)
|
20)
|
7)
|
14)
|
|
13Функции нескольких переменных
Функции нескольких переменных будем рассматривать на примере функции двух переменных.
Пусть на плоскости
x0y
задана некоторая область D.
Если каждой точке этой области с
координатами
ставится в соответствие некоторое число
,
то мы говорим, что в этой области задана
функция двух переменных x
и y.
Линией уровня функции двух переменных называется линия на плоскости 0xy, в точках которой функция сохраняет постоянное значение.
В прикладных науках часто используется понятие линии уровня для представления изучаемой функции двух независимых переменных. Так, например, рассматривая высоту точки местности над уровнем моря как функцию двух переменных - координат точки, - на карту наносят линии уровня этой функции. Такие линии называются в топографии горизонталями и с их помощью удобно следить за изменением высоты местности.
Пример.
Построить линии уровня для функции
для
,
,
.
Решение
Линии уровня - эллипсы:
:
; 
;
; 
;:
; 
;
; 
;:
; 
;
; 
.
Задание № 28
Построить линии уровня для , , для функции:
1)
|
6)
|
11)
|
16)
|
2)
|
7)
|
12)
|
17)
|
3)
|
8)
|
13)
|
18)
|
4)
|
9)
|
14)
|
19)
|
5)
|
10)
|
15)
|
20)
|
Частной
производной
от функции двух переменных по переменной
x
называется производная этой функции,
вычисленная при условии, что другая
переменная y
считается постоянной. Частная производная
по переменной y
определяется аналогично. Частные
производные обозначаются
и
.
Пример:
.
Вычислим теперь
значение этих производных в точке
.
Задание № 29
Вычислить частные
производные функции
в точке
.
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5)
|
6)
|
7)
|
8)
|
9)
|
10)
|
11)
|
12)
|
13)
|
14)
|
15)
|
16)
|
17)
|
18)
|
19)
|
20)
|
