Задание № 30
Вычислить частные
производные функции
в точке
.
1)
|
8)
|
15)
|
2)
|
9)
|
16)
|
3)
|
10)
|
17)
|
4)
|
11)
|
18)
|
5)
|
12)
|
19)
|
6)
|
13)
|
20)
|
7)
|
14)
|
|
14Градиент и производная по направлению
Если
в некоторой области D
на координатной плоскости x0y
задана функция двух переменных, то
говорят, что в данной области задано
скалярное поле. Функция в этом случае
называется функцией поля и обозначается
,
где
- точка поля с координатами х
и у.
.
Направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции поля.
В каждой точке поля градиент направлен по нормали к соответствующей лини уровня в сторону возрастания функции поля.
Для скалярного
поля можно вычислить его производную
по некоторому заданному направлению.
Направление удобно задавать направляющими
косинусами. Пусть направление определяется
вектором
,
тогда
; 
.
Здесь a
и b
- углы, образуемые вектором
соответственно с осями 0х
и 0у.
Производная поля u по направлению
.
Пример.
Найти градиент в точке
и производную по направлению
для функции
,
если
.
Решение
; 
;
; 
;
;
;
; 
;
.
Задание № 31
Найти градиент в
точке М
и производную по направлению
для функции
:
1)
|
11)
|
2)
|
12)
|
3)
|
13)
|
4)
|
14)
|
5)
|
15)
|
6)
|
16)
|
7)
|
17)
|
8)
|
18)
|
9)
|
19)
|
10)
|
20)
|
Рассмотрим
трехмерное скалярное поле:
- функция трех переменных:
.
Производная по направлению S
.
Здесь g - угол, образуемый вектором с осью 0z.
Пример.
Вычислить градиент скалярного поля
в точке
и производную по направлению
,
где точка
.
Решение
Þ 
;
Þ 
;
Þ 
;
.
Вектор 
;
;
;
;
.
Задание № 32
Найти градиент
скалярного поля
в точке М
и производную по направлению
,
если
:
1)
|
5)
|
9)
|
13)
|
17)
|
2)
|
6)
|
10)
|
14)
|
18)
|
3)
|
7)
|
11)
|
15)
|
19)
|
4)
|
8)
|
12)
|
16)
|
20)
|
