Задание № 36
Найти общее решение НЛДУ
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Тот же метод, что и при решении НЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, применим для уравнений других порядков. В этом случае количество корней характеристического уравнения равно порядку уравнения. В частности для уравнения 1-го порядка существует только один корень.
Пример
Найти частное
решение дифференциального уравнения
при
:
, 
.
Подставляем в исходное уравнение и приравниваем коэффициенты при sinx и cosx
.
Общее решение:
.
Подставляем
начальное условие (НУ): 
.
Частное решение,
удовлетворяющее НУ: 
.
Задание n 37
Найти частное
решение дифференциального уравнения
при
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
17РЯДЫ
Выражение
называется функциональным рядом. В
частном случае, если
,
где
- некоторые числа, ряд называется
числовым. Числовой ряд называется
сходящимся, если он имеет конечную
сумму. Если сумма ряда не существует,
или равна бесконечности, то ряд называется
расходящимся. Примером сходящегося
числового ряда может служить бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия
,
где
.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна
.
Примером расходящегося ряда могут служить ряды:
(сумма не существует),
(сумма равна
бесконечности).
Сходимость числовых рядов
Для исследования
сходимости знакопостоянных рядов
наиболее удобным является признак
Даламбера. Если для ряда
существует предел
,
то этот ряд сходится
при
и расходится при
.
При
признак Даламбера неприменим.
Пример.
; 
.
- ряд сходится.
Для знакочередующегося ряда применяется признак Лейбница:
пусть
;
для любого n,
тогда знакочередующийся
ряд
- сходится, причем если при этом сходится
ряд, составленный из абсолютных величин
членов знакочередующегося ряда, то ряд
сходится абсолютно. Если знакочередующийся
ряд сходится, а ряд, составленный из
абсолютных величин членов ряда расходится,
то знакочередующийся ряд сходится не
абсолютно или условно.
Здесь необходимо указать один из признаков сравнения.
Пусть даны два
положительных ряда
и
.
Если существует предел
,
то оба ряда ведут себя одинаково, т.е.
или оба сходятся, или оба расходятся.
Наиболее удобно
сравнивать ряды с рядом вида
,
который сходится при
и расходится при
.
Пример.
Исследовать
на сходимость ряд
и выписать первые три члена ряда.
;
; 
;
откуда следует, что , следовательно, ряд сходится.
Ряд составленный
из абсолютных величин расходится, что
получается из сравнения с расходящимся
рядом
: 
.
Следовательно, данный ряд сходится неабсолютно (условно).
Степенные ряды
Ряд вида
называется степенным и при разных
значениях х
может в общем случае как сходится, так
и расходится. Множество значений х,
при которых ряд сходится, называется
областью сходимости. Область сходимости
определяется неравенством
.
Пример
Найти область
сходимости ряда
.
; 
;
.
Таким образом,
имеем
.
На границах области требуется дополнительное исследование.
Примеры степенных рядов:
;
,
при этом угол x
должен быть взят не в градусах, а в
радианах. Угол в N°
равен углу в
радиан.
;
если
,
то
;
;
.