Задание № 38

Исследовать на сходимость:

1. , ,

2. , ,

3. , ,

4. , ,

5. , ,

6. , ,

7. , ,

8. , ,

9. , ,

10. , ,

11. , ,

12. , ,

13. , ,

14. , ,

15. , ,

16. , ,

17. , ,

18. , ,

19. , ,

20. , ,

21. , ,

22. , ,

Погрешность при представлении функции при помощи нескольких членов ряда для синуса и косинуса не превышает абсолютной величины первого из отброшенных членов ряда.

Пример. Вычислить с погрешностью 0,00001.

Решение. , третий член ряда уже меньше 0,00001, так как

,

следовательно, третий член ряда можно отбросить и имеем .

Задание № 39

Вычислить с погрешностью

1)	5)	9)	13)	17)
2)	6)	10)	14)	18)
3)	7)	11)	15)	19)
4)	8)	12)	16)	20)

Задание n 40

Ряд Маклорена для функции имеет вид: .

Вычислить , взяв 3 члена ряда Маклорена, где , n - номер варианта.

Ряд Фурье

Рядом Фурье для функции называется ряд вида

,

где коэффициенты и определяются по формулам

; ,

если функция имеет период 2p.

Если же функция имеет период 2 , то коэффициенты и определяются по формулам

; .

Напомним, что функция называется четной, если для любых х и -х, принадлежащих области определения функции, выполняется соотношение . Функция называется нечетной, если при этих же условиях .

Имеет место следующее правило:

Ряд Фурье для четной функции содержит только косинусы, а ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусы.

Пример. Периодическая функция с периодом 2p определена следующим образом:

при ;

при .

Записать для этой функции ряд Фурье.

Решение

Функция нечетная. Ее график

Согласно свойству нечетной функции, ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е. для всех k,

Следовательно, ряд Фурье для этой функции имеет вид

.

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.

18Элементы теории случайных величин

Случайная величина - это величина, которая может принимать случайные значения. Примерами случайных величин могут служить число отказов какой-либо аппаратуры в течение суток, температура, измеренная в какой-либо точке и т. п. Вероятностью какого-либо определенного значения случайной величины называется дробь

,

где n - число всех возможных значений, m - число значений, равных данному определенному значению.

Например, если температура где-либо принимает значение в среднем 3 раза из каждых 10 измеренных, то вероятность значения равна .

Случайная величина задается законом распределения, при этом сама случайная величина обозначается заглавными буквами X, Y и т.д., а ее вероятность - буквой P. Сумма всех вероятностей случайной величины должна быть равна 1. Например

Х	1	3	5	7	(**)
Р	0,1	0,2	0,3	0,4

Эта таблица означает, что случайная величина принимает значения 1 с вероятностью 0,1 (1 раз из 10), значение 3 - с вероятностью 0,2 (2 раза из 10) и т.д.

Числовыми характеристиками случайной величины являются:

1. математическое ожидание М(Х);

2. дисперсия D(X);

3. среднее квадратическое отклонение .

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и равно сумме произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Для закона (**)

.

Для того, чтобы вычислить D(X) надо составить закон распределения - квадрата случайной величины. При этом вероятности остаются те же

	1	9	25	49
Р	0,1	0,2	0,3	0,4

Затем найти . Далее: .

Среднее квадратическое отклонение: .