4)) Теорема сложения вероятностей. Формула полной вероятности.

Теорема сложения вероятностей. Вер. суммы событ. A и B равна сумме вер. этих соб. без вер. их совм. появления: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Событ. наз. несовместными, если их появление в одном и том же опыте невозможно. Если события A и B несовместны, то

P(A+B)=P(A)+P(B)

Для трех совместных событий теорема сложения вероятностей имеет вид: P(A+B+C)=P(A)+P(B)

+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).Если события несовместны, то P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

Теорему сложения можно обобщить на любое конечное число слагаемых: Если события несовместны, то P(A1+A2+…+An)=

P(A1)+P(A2)+…+P(An). Прежде чем вычислять вер. суммы событий следует выяснить, совместны они или нет.

Ф-ла полной вероятности

Пусть событ A может произойти с одним и только с одним из несовм. событ.B1,B2,….,Bn образующих полн. группу. Т.е., событие A появится, если произойдет событие B1 и при этом

появится событие A, или произойдет событие B2 и при этом появится событ. A и т.д. Символическая запись фразы имеет вид A=B1A+B2A+…+BnA.

В силу несовместимости событий можно записать

P(A)=P(B1A)+P(B2A)+…+P(BnA). Исп. теорему умножения вероятностей, получаем ф-лу: P(A)=

P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+…+P(Bn)P(A/Bn)

которая и наз-ся ф-лой полной вер. Обычно ее

записывают кратко:

P(A)=

5)) Схема независимых испытаний. Формула Бернулли.

Ситуации, в которых одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще наз-ся схемой повторных независимых испытаний=схемой Бернулли.

Пусть в рез. испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событ. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вер. появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р , т.е p=P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) – буквой q=P( )=1-p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли:

,q=1-p.

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

6))Формула Пуассона. Понятие о простейшем потоке событий.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вер. р формулой Бернулли пользоваться неудобно, напр, вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

– среднее число появлений события в n испытаниях. Эта формула дает удовлетворительное приближение для и . При больших рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Поток событий называется простейшим, если он стационарен, однороден и не имеет последействия. Для такого потока вероятность появления на интервале m событий определяется формулой Пуассона -средняя интенсивность потока.