13)) Функции случайных величин.
Пусть h(x) –– однозначная функция. Функцией случайной величины Х называется такая случайная величина Н = h (X), которая принимает
значение
каждый
раз, когда величина Х принимает значение
хi.
14))Понятие о предельных теоремах теории вероятностей. Формулировка центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых. Следствия из центральной предельной теоремы. (локальная и интегральная теоремы Маувра-Лапласса).
Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. Изучение закономерностей, проявляющихся в массовых случайных явлениях, позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний. Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел, а другая — центральной предельной теоремы
Центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных случайных величин.
Теорема: Если X1, X2, …, Xn– независимые случайные величины,
имеющие одно и то же распределение с математическим ожиданием m
и
дисперсией
,
то при увеличении n закон распределения
суммы
,
неограниченно приближается к нормальному.
Локальная
теорема Лапласа
дает асимптотическую формулу, которая
позволяет приближенно найти вероятность
появления событий ровно
раз
в
испытаниях,
если число испытаний достаточно велико.
Теорема.
Если вероятность
появления
события
в
каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, то вероятность
того,
что событие
появится
в
испытаниях
ровно
раз,
приближенно равна (тем точнее, чем больше
)
значению функции
при
.Существуют
таблицы, которые содержат значения
функции
,
соответствующие положительным значениям
аргумента
.
Для отрицательных значений аргумента
используют те же таблицы, так как функция
четна,
т. е.
.
Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз,
где
.
Интегральная
теорема Лапласа.
Теорема.
Пусть
производится n независимых опытов, в
каждом из которых вероятность наступления
события А одна и та же и равна
.
Пусть m - число появления события A в n
опытах. Тогда для достаточно больших n
случайная величина m имеет распределение,
близкое к нормальному с параметрами
a=M(m)=np,
.
15)) Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли.
Рассмотрим теоремы, относящих к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли. Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определённых условий к некоторым постоянным значениям.
Неравенство
Чебышева Если
случайная величина
имеет
конечное математическое ожидание и
дисперсию, то для любого положительного
числа
справедливо неравенство
то
есть вероятность того, что отклонение
случайной величины
от
своего математического ожидания по
абсолютной величине не превосходит
и
больше разности между единицей и
отношением дисперсии этой случайной
величины к квадрату
.
Запишем
вероятность события
,
то есть события, противоположного
событию
.
Очевидно, что
Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины и применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам.
Теорема
Чебышева При
достаточно большом числе независимых
испытаний
с
вероятностью, близкой к единицы, можно
утверждать, что разность между средним
арифметическим наблюдавшихся значений
случайной величины
и
математическим ожиданием этой величины
по
абсолютной величине окажется меньше
сколь угодно малого числа
при
условии, что случайная величина
имеет
конечную дисперсию,то есть
где
—
положительное число, близкое к
единице.Переходя в фигурных скобках к
противоположному событию, получаем
Теорема Чебышева позволяет с достаточной
точностью по средней арифметической
судить о математическом ожидании или,
наоборот, по математическому ожиданию
предсказывать ожидаемую величину
средней.
Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.
Другими словами, если ε — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство limn→∞Pmn-p<ε=1.