3.2Системы счисления

Системой счисления (нумерацией) называют совокупность приемов представления для наименования, записи и выполнения операций над натуральными числами. Во всех цивилизованных странах используют десятичную, позиционную систему счисления. В ней для записи используют 10 знаков или цифр: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0, которые образуют конечную последовательность цифр, являющуюся краткой записью числа. Например, 52315- это краткая запись числа 510⁴+210³+310²+110¹+5. Такая запись числа называется десятичной. Десятичной записью числа аnаn-1а1а0 называется его представление в виде аn10ⁿ+аn-110^n-1++а110¹+а0, где аn,аn-1,а1,а0 принимают любые значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, аn0.

Числа 1,10,100,1000,.... называют разрядными единицами первого, второго, третьего... разрядов. Место в записи числа соответствующих разрядных единиц называют разрядом. Числа, содержащие в своей записи лишь один разряд называются однозначными, в противном случае многозначными (двузначными, трехзначными,...)

Отношение соседних разрядов называют основанием системы счисления. 10:1=10, 100:10=10, 1000:100=10,...,следовательно, основание системы счисления равно 10. Именно поэтому для записи чисел в ней используют десять цифр. Для удобства чтения и записи чисел в десятичной системе счисления разряды делят на классы. Пусть дано число аnаn-1а1а0, где аn,аn-1,а1,а0 принимают любые значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, аn0, тогда всякую группу цифр аi+2 аi+1 аi, где I- натуральное число, при делении которого на 3 получается остаток 1 называют классом. Образование первых трех классов приведено в таблице.

аn	...	а8	а7	а6	а5	а4	а3	а2	а1	а0
		разряд сотен млн.	разряд десятк. млн.	разряд единиц млн.	разряд сотен тысяч	разряд десятк. тысяч	разряд единиц тысяч	разряд сотен	разряд десятк.	разряд единиц
...			класс миллионов			класс тысяч			класс единиц

Аналогично образуются другие классы: миллиардов, триллионов, квадриллионов, квинтиллионов, секстиллионов и т.д. Система счисления называется позиционной, если в ней одна и та же цифра получает различные значения в зависимости от места, которое она занимает в записи числа. Например, в числе 6826 значение цифры 6 в зависимости от ее места (позиции ) различно. Первая цифра 6 (справа налево) обозначает, что в числе 6 единиц в разряде единиц, вторая цифра 6 обозначает, что в числе 6 единиц в разряде единиц тысяч. Это хорошо видно в десятичной записи числа 6826=6000+800+20+6. Непозиционная система счисления характеризуется тем, что каждый из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел, обозначает одно и то же независимо от места, т.е. позиции, занимаемого этим знаком в записи числа. Известным примером такой системы является римская система, которая применяется для нумерации элементов множества, состоящего из небольшого числа элементов, например глав книги, классов школы, призовых мест и т.д.