Применение производной в исследовании функции и построении её графика
Схема исследования функции и построения графика
Найти область определения функции D(f)
Исследовать на четность – нечетность
Найти вертикальные асимптоты
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
Найти экстремумы и интервалы монотонности
Найти
Найти критические точки функции, в которых = 0 или не существует
Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.
Найти экстремумы функции.
Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба
Найти
Найти точки, в которых = 0 или не существует
Исследовать знак слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
(если
>0
=> выпукла вниз,
<0 => выпуклость вверх)Найти значение функции в точке перегиба
Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Построить график функции.
Тема 1.6. Дифференциал функции. Понятие дифференциала
Приращение y дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде:
,
где
- производная функции y=f(x),
х – приращение
независимой переменной,
- бесконечно малая величина
Дифференциалом (первого порядка) функции y=f(x) называется главная, линейная относительно х часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
Поэтому дифференциал функции
Свойства дифференциала:
Применение дифференциала в приближённых вычислениях.
При достаточно малых значениях х
приращение функции
,
т.е.
Чем меньше х, тем точнее данная формула
Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом второго порядка (или
вторым дифференциалом)
функции y=f(x)
называется дифференциал первого порядка
этой функции, т.е.
Дифференциалом n-го второго
порядка
функции y=f(x)
называется дифференциал от дифференциала
(n-1) го порядка этой функции,
т.е.
