#18 Теорема Ролля.

Пусть на отрезке [a,b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a,b]; f(x) диф. на (a,b); f(a)=f(b). Тогда всегда найдется т.с(a,b), что f'(c)=0.

Геом. cмысл т.Ролля: Если функция удв условиям теор. Ролля то сущ. Точка С на [a,b];касательная в этой точке параллельна оси X.

Теорема Ролля д-во: По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M>m.

Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю.

Пусть М>m. Так ка значения на концах отрезка равны, то  хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим e, a < e < b точку, в которой f(e) = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого Δx ( будем считать, что точка e + Δx находится внутри рассматриваемого интервала) верно: 

Δf(e) = f(e + Δx) – f(e)

При этом

 Но так как по условию производная в точке e существует, то существует и предел  .

Т.к.   и  , то можно сделать вывод:

 

#19 Теорема Лагранжа.

Пусть на отрезке [a,b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a,b]; f(x) диф. на [a,b]. Тогда найдется т-ка c(a,b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f'(c).

Геом.смысл теоремы Лагранжа:Если F (x) удв. усл. т.Лагранжа то сущ.хоть 1 точка С такая что касательная в этой точке || стягивающей хорде, стягивающая хорда - прямая соед. a и b.

Теорема Лагранжа д-во:

Док-во в приложении к документу

Теорема Коши.

Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a,b] и диф. на

(a,b). Пусть кроме того, g`(x)0. Тогда  т-ка

с(a,b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-

f(a))/(g(b)-g(a))=f'(c)/g'(c).

Теорема Коши д-во: В приложении к документу!

#20 Правило Лопиталя.

Если f(x) →0 и g(x) →0, при x→a,тогда lim(x→a)(f(x)/g(x))= lim(x→a)(f'(x)/g'(x))

Док-во: в приложении к документу

#21 Многочлен Тейлора

В приложении к документу!

Ф-ла Тейлора:

f(x) = f(x₀) + (f’(x₀)(x-x₀)/1!) +…+(f⁽ⁿ⁾(x₀) (x-x₀)ⁿ/n!)+R_n(x)

R_n(x) – остат. член ф-лы показ. погреш. рав-ва f(x)  P_n(x)

R_n(x) в форме Лагранжа: f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀+(x-x₀))(x-x₀)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!

R_n(x) в форме Пеано: ((x-x₀)ⁿ) при xx₀

Ф-ла Маклорена

При x₀=0 получаем частный случай Тейлора – ф-лу Маклорена f(x)=f(0)+f’(0)x/1!+f’’(0)x²/2!+.+f⁽ⁿ⁾(0)(xⁿ)/n!+f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(xⁿ⁺¹)/(n+1)!

f(x)f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)/1!+…+f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!

1)e^x=1+x/1!+x²/2!+x³/3!+…+xⁿ/n!+e^cxⁿ⁺¹/(n+1)! 2)sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹)/(2n+1)!+(-1)ⁿ⁺¹(x²ⁿ⁺³)/(2n+3)!*cosc 3)cosx=1-x²/2+x⁴/4-…+(-1)ⁿx²ⁿ/(2n)!+(-1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺²/(2n+2)!*cosc

4)ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-x⁴/4+…+(-1)^n-1xⁿ/n+(-1)ⁿxⁿ⁺¹/(n+1)(1+c)ⁿ⁺¹

5)(1+x)^k=1+kx+k(k-1)x²/2!+…+k(k-1)…(k-n+1)xⁿ/n!+

+k(k-1)…(k-n)(1+c)^k-n-1xⁿ⁺¹/(n+1)!

#22 Остаточный член ф-лы Тейлора

В приложении к документу!

#23 Локальный экстремум ф-и 1-й переменной

Если произв. ф-ции y=f(x) в точке х₀ не определена или равна нулю, то х₀- точка экстремума ф-ции.

Локальный экстремум ф-ции 1-й перемен

д-во: (необх) Если дифф. ф-ия y=f(x) имеет

экстремум в точке x₀, то ее произв. в этой точке

равна нулю: f’(x₀)=0. (Теорема Ферма)

#24 Вычисляется вторая производная f''(x) и с ее

помощью находятся промежутки выпуклости

(f''(x)<0), вогнутости (f''(x)>0) и точка перегиба

(f''(x)=0). Точки перегиба:

Точка х₀ наз. точкой перегиба графика ф-ции y=f(x), если справа и влева от этой точки у= f(x) имеет разные направления выпуклости.

Точки перегиба д-во:

(необх) Если ф-ция у= f(x) имеет в точке х₀ вторую произв. и график этой ф-ции имеет перегиб в точке х₀, то f''(х₀)=0 (достат) Если f''(х) при переходе через точку х₀, в которой она равна нулю или не сущ., меняет знак, то точка графика с абциссой х₀ есть точка перегиба.

#25 Наклонные и горизонтальные асимптоты

Асимптота – прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.Пусть М(х;у) – произвольная точка кривой. По ф-ле расст. от точки до прямой находим: d = |(kx-y+b)/ k² +1|. d0  lim_x(kx-y+b) = 0   lim_x(y/x) = lim_x(k+b/x(0))  k = lim_x(y/x)   b= lim_x(y-kx). Если k=0, то b – гориз. асимптота.

Прямая x=a явл. вертик. асимптотой y=f(x), если lim_xa f(x)= , или lim_xa-0 f(x)=  lim_xa+0 f(x)= .

Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x, если f(x) имеет вид f(x) = kx+b+ (x), где lim_{x} (x) = 0.

Теорема (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела lim_xf(x)/x = k, lim_x(f(x)-kx) = b. Доказательство. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид f(x) = kx+b+(x), тогда lim_xf(x)/x = (kx+b+(x))/x = k, lim_x(f(x)-kx) = lim_x(b+(x)) = b. Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x. Обозначив f(x)-kx-b = (x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.