#27 Дифференцируемость ф-ий неск. Переменных

Определение. Функция u=f(x1, ..., xm) называется дифференцируемой в точке M(x1, ..., xm), если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде f(x1+  x1, ..., xm+  xm) - f(x1, ..., xm)    u = A1 x1 + A2 x2 + ... + Am xm + 1 x1 + ... +  m xm,

где А1, А2, ..., Аm - некоторое, не зависящие от  x1, ...,  xm, числа,

а  1,  2, ...,  m - бесконечно малые при  x1 0, ...,  xm 0 функции, равные 0 при  x1 =  x2 =...=  xm=0.

Если положить  , то условие дифференцируемости может быть записано в виде:

u = A1 x1 + A2 x2 + ... + Am xm + 0( ) (1)

Оба представления эквивалентны и означают, что приращение функции представимо в виде линейной части (по  x1, ...,  xm) и членов более высокого порядка (по  x1, ...,  xm или  ).

Теорема. Если функция u=f(x1, ..., xm) дифференцируема в точке

M(x1, ..., xm), то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем  , где Аi определяются из условия дифференцируемости.

Доказательство: Положим в условии дифференцируемости все приращения, кроме  xk, равными нулю, тогда для частного приращения справедливо представление

xku = Ak xk +  k . xk

Отсюда

 и т.к.  k 0 при  xk 0, то  .