2. Кристаллическая решетка

Выше упоминалось о периодичности строения кристаллических тел. Назовем ту элементарную конфигурацию, которая образована некоторой группой частиц, элементарной кристаллической ячейкой. Тогда при ее многократных параллельных переносах (трансляциях) в трех различных направлениях получится пространственная кристаллическая решетка, т.е. вся решетка состоит из тождественных элементарных ячеек. Такая ячейка представляет собой параллелепипед, построенный на трех наименьших векторах: , модули которых равны периодам идентичности (трансляции). А векторы, как известно, можно задать значениями их величин: a, b, c и углами между векторами и осями координат: α, β, γ.

Для описания одной и той же кристаллической структуры элементарную ячейку можно выбрать различными способами. На рис. 4.1 жирными линиями выделены три возможных элементарных ячейки для данной структуры кристалла.

Рис. 4.1.

Кристаллическая решетка обладает трасляционной симметрией, т.е. совпадает сама с собой при перемещениях на величину периодов идентичности. В случае трасляционной симметрии можно задать оператор трансляции

(4.1)

где – произвольные целые числа Оператор трансляции соединяет две точки в кристалле, имеющие одинаковое атомное окружение. Множество операторов трансляции определяет кристаллическую решетку, полученную при параллельном переносе и называемую решеткой Бравэ. Решетка Бравэ является примитивной, если ее ячейки содержат частицы только в вершинах (узлах). Тогда на каждую такую ячейку приходится всего одна частица (одни и те же частицы принадлежат соседним ячейкам одновременно).

Но есть вещества, у которых вокруг узла группируется несколько частиц вполне определенным образом. Такие решетки называются решетками с базисом.

При трансляции должна сохраняться периодичность в пространстве как самих узлов, так и окружающего их базиса.

Кристаллические тела обладают не только трасляционной симметрией. Существует симметрия и по отношению к поворотам вокруг некоторых осей (1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка). Порядок оси симметрии определяется количеством совпадений решетки с самою собой при повороте на угол 2π.

Существуют и другие виды симметрии, определяемые плоскостью симметрии, винтовой осью n-го порядка и т.д., рассмотрение которых выходит за пределы нашего курса.

Отметим лишь, что в зависимости от формы элементарной ячейки все кристаллы делятся на семь сингоний (кристаллических систем), обладающих определенными классами симметрии. Этим сингониям соответствует 14 возможных пространственных решеток Бравэ.

Далее приведем сингонии кристаллов в порядке возрастания симметрии и соответствующие им параметры и типы решеток Бравэ (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Решетки Бравэ.

Кубическая сингония. Ячейка примитивная (простая кубическая), объемно-центрированная или гранецентрированная в форме куба.

Тетрагональная сингония. Ячейка примитивная или объемно-центрированная в форме прямой призмы с квадратом в основании.

Ромбическая сингония. Ячейка примитивная, базоцентрированная, объемно-центрированная или гранецентрированная в форме прямоугольного параллелепипеда.

Гексагональная сингония. . Примитивная ромбоэдрическая ячейка в форме прямых призм с ромбами в основании. Сложенные вместе три таких ячейки образуют правильную шестигранную призму.

Триклинная сингония. Все параметры разные: Элементарная ячейка решетки Бравэ примитивная в форме косоугольного параллелепипеда.

Моноклинная сингония. . Ячейка примитивная или базоцентрированная в форме прямой призмы с параллелограммом в основании.

Тригональная (или ромбоэдрическая). Ячейка ромбоэдрическая примитивная в форме ромбоэдра (куба, деформированного вдоль диагонали) с гранями в виде ромбов.