1.1 История развития метода конечных элементов
Развитие МКЭ, в близкой к современной трактовке, началось в 1940-х годах с работ "Solution of Problems of Elasticity by the Framework Method" А. Хренникова (1941 г.) и "A Lattice Analogy for the Solution of Plane Stress Problems" Д. МакГенри (1943 г.), которые были посвящены прочностному расчету строительных конструкций [5]. В этих работах использовались линейные (одномерные) элементы (стержни и балки) для расчета напряжений в сплошных средах. Хренников решал двумерную задача, разбивая расчетную область на одинаковые мелкие конечные ячейки, соединенные друг с другом в углах. Каждая ячейка (треугольник или прямоугольник) составлялась из прямых упругих стержней. Этот метод основывался на чисто физических принципах конструирования конечных элементов, и на практике был применен Хренниковым значительно позднее для расчета цилиндрических оболочек. МакГенри использовал схожую "сеточную аналогию".
В работе, опубликованной в 1943 г., но не получившей на протяжении многих лет широкого признания, Р. Курант [6] предложил искать решение в вариационной форме. Также он предложил использовать кусочные интерполяционные функции (функции формы) на треугольных подобластях, составляющих всю область, как метод для получения приближенных численных решений. В этой же работе была выведена дискретизация краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона на треугольных подобластях линейными полиномами.
В 1947 г. C. Леви [7] разработал метод сил. Но уже в 1953 г. в своей работе [8] он предложил другой метод ("прямой метод жесткости"), являющийся, по его мнению, многообещающей альтернативой для анализа статистически избыточных конструкций летательных аппаратов. В работе [8] Леви аппроксимировал поведение структуры крыльев летательного аппарата, используя коробчатые и торсионные балки, стержни и панели, работающие на сдвиг. Однако его уравнения были слишком сложными для решения вручную, и таких образом метод стал популярен только с развитием высокоскоростной вычислительной техники.
В 1950-х Дж. Аргирис и С. Келси разработали матричный метод расчёта конструкций, используя энергетические принципы [5]. Их исследования также были посвящены использованию МКЭ для расчета авиационных конструкций и ориентированы на использование ЭВМ для выполнения расчетов. Эти работы считаются фундаментальными. Именно они оказали решающее влияние на развитие МКЭ в последующие годы.
В 1956 г. М. Тернер и Р. Клаф в работе [9] впервые применили двумерные элементы и вывели матрицы жесткости для фермовых элементов, балочных элементов и двумерных плосконапряженных треугольных и прямоугольных элементов. Также был изложен метод, широко известный как "прямой метод жёсткости" для получения полной структуры матрицы жесткости. Наряду с развитием высокоскоростных цифровых компьютеров в начале 1950-х, в работе Тернера и др. [9] предложено дальнейшее развитие конечноэлементных уравнений жесткости, выраженных в матричной форме. Само понятие "конечный элемент" было введено Клафом в 1960 г. в своей знаменитой статье, посвященной решению двумерной задачи теории упругости [10]. Именно это исследование считается первой завершенной работой по применению МКЭ для данного класса задач.
В течение нескольких последующих лет эволюция метода шла преимущественно по пути разработки новых видов конечных элементов и вывода соответствующих конечноэлементных матриц. Так матрица жесткости для плоского четырехугольного элемента была получена в Р. Мэлошом в 1961 г. Затем в 1963 г. П. Графтон и Д. Строме вывели матрицы жесткости для криволинейного четырехугольного элемента для осесимметричных областей и сосудов под давлением. Расширение МКЭ до трехмерных задач с нахождением матрицы жесткости для тетраэдра было выполнено Х. Мартином в 1961 г., в 1962 г. Р. Галахером, и в 1963 г. Р. Мэлошом. Дополнительные трехмерные элементы были изучены Аргирисом в 1964 году. Особый случай осесимметичных тел был рассмотрен Клафом, Рашидом, и Уилсоном в 1965 году [5].
В 1963 г. была доказана связь МКЭ с процедурой минимизации (было показано, что данный метод можно рассматривать как вариант метода Рэлея-Ритца). Это привело к расширению области приложения метода. В частности его стали применять для решения задач распространения тепла, задач гидромеханики и т.д. [11].
С появлением реализации Мэлоша [12] в 1963 г., согласно которой МКЭ можно было формулировать в терминах вариационной постановки, его стали применять для решения еще более широкого круга задач. Задачи теории поля, такие как определение кручения вала, течения жидкости и проводимости тепла были решены Зенковичем и Чунгом в 1965 г., Мартином в 1968 г. и Уилсоном и Никлем в 1966 г. [5].
Дальнейшее расширение метода стало возможным благодаря применению методов взвешенных невязок, сначала Сабо и Ли [13] в 1969 г. для вывода ранее известных уравнений теории упругости, используемых в структурном анализе, а затем и Зенкевичем и Парехом [14] в 1970 году для задач с нестационарными полями. Позднее было замечено, что когда прямые формулировки и вариационные формулировки тяжело или невозможно использовать, иногда может быть применим метод взвешенных невязок. Например в 1977 г. Линес и др. [15] применили метод взвешенных невязок для определения магнитного поля.
С середины 1970-х МКЭ нашел новое применение в биоинженерии [5], где до настоящего времени сохраняется ряд проблем, связанных с нелинейностью материалов, геометрическая нелинейность и т.д.
В период с начала 1970-х до 1990-х годов в мире вышло несколько крупных монографий, посвященных МКЭ и его применению для решения различных инженерных задач. Некоторые из этих монографий были переведены на русский язык[11, 16-18].
С начала 1950-х и по сей день, огромные успехи были достигнуты в области применения метода конечных элементов для решения сложных инженерных задач. Инженеры, математики-прикладники и другие ученые несомненно, будут продолжать разрабатывать новые приложения.
Одним из таких сравнительно новых подходов, появившемся в середине 1980-х и начавшем особенно активно развиваться только последние два десятилетия стал векторный метод конечных элементов.