Заключение

Векторный метод конечных элементов представляет собой эффективный и современный инструмент решения физических задач, описываемых уравнениями в частных производных. Данный метод позволяет решать двумерные и трехмерные задачи электромагнетизма в естественных переменных, работая с векторными переменными, а не рассматривая скалярные уравнения для каждого измерения по отдельности. Векторный МКЭ стал активно применяться сравнительно недавно и вызвал интерес со стороны многих исследователей. Число публикаций, посвященных данной технологии за последние резко возросло. Тем не менее этот метод остается недостаточно изученным и требует дальнейшего исследования, в частности в вопросе выбора наилучших базисов для решения определенных классов задач.

Список литературы

1. Brezzi, F. Mixed and hybrid finite element methods / F. Brezzi, M. Fortin. – New York : Springer-Verlag, 1991

2. Efendiev, Y. Multiscale Finite Element Methods. Theory and Applications. / Y. Efendiev, T. Y. Hou. – New York : Springer, 2009.

3. Cockburn, B. Discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems / B. Cockburn // High-Order Methods for Computational Physics. – 1999. – pp. 69-224.

4. Webb, J.P. Hierarchal vector basis functions of arbitrary order for triangular and tetrahedral finite elements / J.P. Webb // IEEE Trans. on antennas and propagation. – 1999. – vol. 47(8). – pp. 1244-1253.

5. Logan, D. L. A First Course in the Finite Element Method / D. L. Logan. – Fourth Edition. – Ontario : Thomson, 2011.

6. Courant, R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations / R. Courant // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1943. – vol.49. – pp. 1-23.

7. Levy, S. Computation of Influence Coefficients for Aircraft Structures with Dis-continuities and Sweepback / S. Levy // Journal of Aeronautical Sciences. – 1947. – vol.14(10). – pp. 547-560.

8. Levy, S. Structural Analysis and Influence Coefficients for Delta Wings / S. Levy // Journal of Aeronautical Sciences. – 1953. – vol.20(7). – pp. 449-454.

9. Turner, M. J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures / M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin // Journal of Aeronautical Sciences. – 1956. – vol.23(9). – pp. 805-824.

10. Clough, R. W. The Finite Element Method in Plane Stress Analysis / R. W. Clough // Proceedings, American Society of Civil Engineers, 2nd Conference on Electronic Computation, Pittsburgh, PA. – 1960. – pp. 345-378.

11. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд. – Москва : Мир, 1979.

12. Melosh, R. J. Structural Analysis of Solids / R. J. Melosh // Journal of the Structural Division, Proceedings of the American Society of Civil Engineers. – 1963. – pp. 205-223.

13. Szabo, B. A. Derivation of Stiffness Matrices for Problems in Plane Elasticity by Galerkin's Method / B. A. Szabo, G. C. Lee // International Journal of Numerical Methods in Engineering. – 1969. – vol.1. – pp. 301-310.

14. Zienkiewicz, O. C. Transient Field Problems: Two-Dimensional and Three-Dimensional Analysis by Isoparametric Finite Elements / O. C. Zienkiewicz, C. J. Parekh // International Journal of Numerical Methods in Engineering. – 1970. – vol.2(1). – pp. 61-71.

15. Lyness, J. F. Three-Dimensional Magnetic Field Determination Using a Scalar Potential. A Finite Element Solution / J. F. Lyness, D. R. Owen, O. C. Zienkiewicz // Transactions on Magnetics, Institute of Electrical and Electronics Engineers. – 1977. – pp. 1649-1656.

16. Зенкевич, О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. – Москва : Мир, 1975

17. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. – Москва : Мир, 1984.

18. Стренг, Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. – Москва : Мир, 1977.

19. Nedelec, J.-C. Mixed finite elements in R3 / J.-C. Nedelec // Numer. Math. – 1980. – vol. 35(3). – P. 315-341.

20. Nedelec, J.-C. A new family of mixed finite elements in R3 / J.-C. Nedelec // Numer.Math.. – 1986. – vol. 50(1). – P. 57-81.

21. Webb, J.P. Hierarchal scalar and vector tetrahedra/ J.P. Webb // IEEE Transactions on magnetics– 1993. – vol. 29(2). – P. 1495-1498.

22. Garcia-Castillo, L. E. Third-order Nedelec curl-conforming finite element / L.E. Garcia-Castillo, A.J. Ruiz-Genoves, M. Salazar-Palma // IEEE Trans. on magnetics. –2002. – vol. 38(5). – P. 2370-2372.

23. Gopalakrishnan, J. Nedelec spaces in affine coordinates / J. Gopalakrishnan, L. E. Garcia-Castillo, L. F. Demkowicz // Computers and mathematics with applications. – 2005. – vol. 49(7-8). – P. 1285-1294.

24. Yioultsis, T.V. Development and implementation of second and third order vector finite elements in various 3-D electromagnetic field problems / T.V. Yioultsis, T.D. Tsiboukis // IEEE Trans. on magnetics. –1997. – vol. 33(2). – P. 1812-1815.

25. Ainsworthand, M. Hierarchic Finite Element Bases on Unstructured Tetrahedral Meshes / M.Ainsworthand, J. Coyle //, Int. J. Num. Meth. Eng. – 2003. – vol.58(14) – P. 2103-2130.

26. Schoberl, J. High order Nedelec elements with local complete sequence properties / J. Schoberl, S. Zaglmayr // COMPEL. – 2005.– vol.24(2).– P.374-384.

27. Solin, P. Higher-Order Finite Element Methods / P. Solin, K. Segeth, I. Dolezel. – CRC Press : CHAPMAN & HALL, 2004. – 408 p.

28. Sparsity optimized high order finite element functions on simplices /S. Beuchler, V. Pillwein, J. Schöberl, S. Zaglmayr. - preprint/ Computational Mathematics in Engineering. – 2011. – 23 p.

29. Wang, H., Application of hierarchical higher-order tangential vector finite elements in a hybrid FEM/MoM method / H. Wang, C. Guo, T. H. Hubing // ACES JOURNAL. – 2003. – vol.18(1). – pp. 1-11.