§28. Проективные преобразования

Пусть в n-мерном проективном пространстве RPⁿ наряду с однородной системой координат {Е₁,Е₂,...,E_n+1,E}=R задана новая проективная система координат {Е'₁,Е'₂,...,Е'_n+1,E'}=R' и произвольная точка М RPⁿ имеет в системе R координаты х₁,х₂,...,х_n+1.

Опр.1. Преобразование f пространства RPⁿ называется проективным, если каждой точке М RPⁿ ставится в соответствие точка М' RPⁿ, имеющая в новой системе координат R' те же самые координаты, которые точка М имела в исходной системе координат R:

.

Замечание 1. Аналогично определяется и проективное отображение одного проективного пространства на другое (той же размерности).

Замечание 2. Из определения 1 непосредственно следует что преобразование f^-1 проективного пространства RPⁿ, обратное к проективному преобразованию f, также есть проективное преобразование. Очевидно также, что тождественное преобразование е проективного пространства есть его проективное преобразование.

Если новая система координат R' задана невырожденной квадратной матрицей С=(с_ij) порядка n+1, то из формул (2) преобразования координат §26 следует, что точка будет иметь в старой системе координат R следующие координаты (однородные):

, (1)

где , , det(c_ij) .

Замечание 3. Проективное преобразование можно определить и как преобразование, ставящее в соответствие каждой точке арифметического проективного пространства точку М', однородные координаты которой даны формулами (1) при условии det(c_ij) , причём система координат всегда одна и та же. Поэтому проективное преобразование пространства RPⁿ полностью определяется заданием невырожденной квадратной матрицы n+1 -го порядка.

Замечание 4. Если проективные преобразования f₁ и f₂ задаются соответственно матрицами А и В, то произведение этих матриц А и В задаёт композицию f₁ и f₂. Значит, композиция двух проективных преобразований является проективным преобразованием. Учитывая замечание 2, имеем основной факт.

Теорема 1. Проективные преобразования проективного пространства RPⁿ образуют группу, являющуюся подгруппой в группе всех преобразований этого пространства.

Теорема 2. Проективные преобразования f пространства RPⁿ отображает любую r-мерную плоскость на плоскость той же размерности r.

Доказательство.

Пусть плоскость задана в проективной системе координат R системой из n-r линейно независимых однородных уравнений вида:

(2)

Обозначим и образы плоскости и системы координат R при данном проективном преобразовании f. Так как проективное преобразование вполне определяется заданием пары проективных систем координат R и R', то R'=f(R) также проективная система координат. Согласно определению, координаты образов точек в системе координат R' и координаты их прообразов в системе координат R совпадают, тогда фигура относительно системы координат R' задаётся такими же уравнениями (2), что и плоскость в системе координат R. Значит - плоскость размерности r.

Теорема доказана.