§9. Группа аффинных преобразований и её подгруппы. Предмет аффинной геометрии

1°. Понятие группы было рассмотрено в курсе алгебры. Пусть имеется некоторое непустое множество преобразований. Из определения группы следует, что является группой относительно композиций преобразований, то есть их последовательного выполнения, если выполняются следующие условия:

1.) Композиция любых двух преобразований из также принадлежит .

2.) Для композиции преобразований из справедлив ассоциативный закон.

3.) В содержится тождественные преобразования (играет роль единичного элемента).

4.) Преобразование, обратное любому преобразованию из , также принадлежит .

Известно, что второе условие выполняется для любых преобразований. Из выполнения первого и четвертого условий следует выполнение третьего условия: из

Следовательно, если мы хотим доказать, что является группой, то так достаточно проверить выполнение лишь первого и четвертого условий.

Теорема 1: множество аффинных преобразований пространства является группой.

□ 1) Пусть , докажем, что . Обозначим через ассоциированные с векторные преобразования. Пусть для произвольных точек : . Так как – аффинные преобразования, что по определению (1) из §7

Так как – линейные преобразования, то и - линейное преобразование. Из (1) следует, что векторное преобразование ассоциировано с преобразованием . По определению (1) из §7 - аффинное преобразование.

4.) Пусть , покажем, что обратное ему преобразование . Обозначим через линейное преобразование, ассоциированное с . Пусть для произвольных точек , а так как - аффинное преобразование, то , откуда . Следовательно, – линейное преобразование, ассоциированное с , и – аффинное преобразование. ■

2°. Подгруппа параллельных переносов

Определение 1: пусть пара – группа и . Если пара сама является группой, то она называется подгруппой группы .

Определение 2: преобразование пространства называется параллельным переносом на данный вектор , если образом любой точки М является такая точка , что .

Пусть , b , тогда по определению параллельного переноса имеем:

Формулы (2) являются частным случаем формул (1) из §8 при

По теореме (2) из §8 параллельный перенос является аффинным преобразованием. По следствию из этой теоремы ассоциированное с ним векторное преобразование выражается формулами , следовательно, является тождественным преобразованием.

Обозначим параллельный перенос на вектор , тогда, очевидно: и . Следовательно, параллельные переносы пространства образуют группу, являющуюся подгруппой группы аффинных преобразований этого пространства.

3°. Подгруппа гомотетий

Определение 3: гомотетия с центром S и коэффициентом называется преобразование пространства , при котором образом любо точки M является такая точка M’, что .

Пусть , тогда по определении гомотетии или

Если S=0, то и формулы (3) принимают вид (4).

Формулы гомотетии являются частным случаем формул (1) из §8 при

Следовательно, гомотетия является аффинным преобразованием, а ассоциированное с ним векторное преобразование формулами .

Обозначим гомотетию с центром S и коэффициентом , тогда, очевидно: , где и . Следовательно, гомотетии с общим центром пространства образуют группу, являющуюся группой аффинных преобразований этого пространства.