Задача №4

Определение частного целого неотрицательного числа на на­туральное, его существование и единственность. Теоретико-мно­жественный смысл правил деления суммы и произведения на число.

Вариант 1. Приведите примеры множеств,

1. которые можно разбить на два равночисленных класса,

2. которые можно разбить на равночисленные классы, содержащие по два элемента,

3. которые нельзя разбить на два равночисленных класса,

4. которые нельзя разбить на равночисленные классы, содержащие по два элемента.

Вариант 2. Используя теоретико-множественный подход к делению покажите, что 12:3=6, 6:1=6.

Вариант 3. Как изменится частное, если

5. делимое и делитель умножить на одно и то же число;

6. делимое увеличить в 5 раз;

7. делитель увеличить в 3 раза.

Вариант 4. Объясните выбор операции при решении задач. «Шесть кусков сахара разложили в стаканы с чаем, по 2 куска в каждый. На сколько стаканов хватило сахара?» «10 тетрадей раздали пяти ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик?»

Вариант 5. Вычислите частное несколькими способами, укажите рациональный:

8. (390+39):13

9. (740+37):37

10. (64∙32):8

11. (225∙5∙3):15

12. 20∙(30:5)

13. 270∙(135:27)

Вариант 6. Найдите ошибку в следующих рассуждениях «Докажем, что 2∙2=5. Имеем верное числовое равенство 4:4=5:5. Применим свойство деления и получим 4∙(1:1)=5∙(1:1). Применим свойство умножения и получаем 4=5, то есть 2∙2=5»

Вариант 7. Найдите ошибку в следующих рассуждениях «Решим уравнение х²+х=5х. Решение выглядит так: х+1=5 х=4».

Вариант 8.Приведите пример практической работы, которую можно предложить младшим школьникам при знакомстве с делением на равные части и «по содержанию».

Задача №5. Отношения «больше», «меньше», «меньше или равно» и их свойства.

Вариант 1. Доказать транзитивность отношения «меньше».

Вариант 2. Доказать, что отношение «больше» является отношением строго порядка.

Вариант 3. Доказать, что отношение «меньше или равно» транзитивно.

Вариант 4. Докажите что, для любого целого неотрицательного числа а и натурального числа с справедливо неравенство а+с>а.

Вариант 5. Докажите, что для целых неотрицательных чисел а и с справедливо неравенство а+са.

Вариант 6. Докажите, что:

1. (а≤b, cd)  a+cb+d

2. (а≤b, c≤d)  a+c≤b+d

3. (а>b, c>d)  a+c>b+d

4. (с≤a≤b)  a-c≤b-с

5. (a≤b, cN₀)  ac≤bc

Вариант 7. Докажите, что любых целых неотрицательных чисел a и b если a+b>10, то a>5 или b>5. Это один из вариантов принципа Дирихле.

Вариант 8. В начальной школе можно предложить задание: «Какое число надо вставить в окошко 3+5 > □+5». Какое отношение имеет данная задача к монотонности сложения? Приведите примеры других заданий из учебников математики для начальной школы, которые демонстрируют младшим школьникам монотонность сложения.

Задача №6.

Аксиомы Пеано. Определение целого неотрицательного чис­ла.

Вариант 1. Удовлетворяет ли множество {4, 5, 6, 7, 8,…} аксиомам Пеано? Какой элемент является начальным?

Вариант 2. На рисунке каждый элемент соединен стрелкой со следующим за ним элементом. Удовлетворяет ли множество аксиомам П еано? Какое условие нарушено?

Вариант 3. Докажите, что из аксиом Пеано следует единственность нуля в множестве целых неотрицательных чисел.

Вариант 4. Сколько штрихов надо поставить, чтобы равенства были верными: 1΄΄ =5 456΄΄΄΄=500

Вариант 5. Дано множество А={└, ┘, ├, ┤, ┬, ┴, ┼, ═, ║, ╒, ╓, ╔, ╕, ╖, ╗, ╣, ╥, ╧, ╩, ╫…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Запишите непосредственно следующие элементы за ├, ╒, ╩. Запишите элементы, за которыми следуют └, ┘, ═. Запишите элементы непосредственно предшествующие ╖, ╗,╥.

Вариант 6. Дано множество А={◘, ◙, ☺, ☻, ☼, ♀, ♂, ♠, ♣, ♥, ♦, ♪,…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Сравните следующие натуральные числа ☺ и ☻ ☼ и ♠ ♦ и ♀

Вариант 7. Дано множество А={, , , , , , , , , , , , , , , , , ,…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Сколько штрихов надо поставить, чтобы равенства были верными: ΄΄ =   =   = 

Вариант 8. Приведите примеры заданий уз учебников по математики для начальной школы разных авторов, в которых реализуется порядковый подход к целым неотрицательным числам.

Задача №7.

Определение целого неотрицательного чис­ла, сложение и вычитание целых неотрицательных чисел с точки зрения аксиоматического подхода.

Вариант 1. Докажите, что для любого целого неотрицательного числа а верны равенства:

1. а+1=1+а

2. а+0=0+а

3. а+с=е+с  а=е (сократимость сложения)

Вариант 2. Дано множество А={└, ┘, ├, ┤, ┬, ┴, ┼, ═, ║, ╒, ╓, ╔, ╕, ╖, ╗, ╣, ╥, ╧, ╩, ╫…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами числами. Используя определения суммы и разности найдите значения выражений:

4. └ + ┤

5. ║ + ┘

6. ┬ + ╖

7. ╫ - ┤

8. ╥ - └

9. ╒ - ╩

Вариант 3. Дано множество А={◘, ◙, ☺, ☻, ☼, ♀, ♂, ♠, ♣, ♥, ♦, ♪,…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Закончите равенства, применив свойства сложения и вычитания (круглые скобки имеют свое обычное значение, то есть используются для указания порядка выполнения действий):

10. ♂ + ◙ =

11. (☼ + ♦) - ☻ =

12. ♦- (♀ + ☺) =

Вариант 4. В учебниках математики для начальной школы встречаются задания, в которых ученики убеждаются, что если к числу прибавить 1, то получиться следующее за ним число, а если вычесть – предыдущее. Найдите эти задания. На каких теоретических положениях они основываются.

Вариант 5. Используя аксиомы сложения и вычитания вычислите:

13. 5+0

14. 6+1

15. 8-0

16. 8-1

17. 9-2

18. 5-3

Вариант 6. Исправьте ошибки в записях если они есть:

1. 4+5=5+4=5+3=(5+3) =(5+2)=(5+2) =(5+1) =6=8

2. 456+654=(456+654)

3. 456+654=(456+654)

4. 999999-1000000=0

Вариант 7. Исправьте ошибки в записях если они есть

19. 99-(25-14)=95-14-25

20. 99-(25-14)=95-25-14

21. 98-2=(98-1)=97

Вариант 8.Найдите в учебниках математики М.И. Моро задания, при выполнении которых школьники рассматривают целые неотрицательные числа с позиции порядкового подхода. Какой подход порядковый или количественный нашел большее распространение в учебнике? Почему?