Задача №8.

Определение целого неотрицательного чис­ла, умножение и деление целых неотрицательных чисел с точки зрения аксиоматического подхода.

Вариант 1. Докажите монотонность умножения на множестве целых неотрицательных чисел.

Вариант 2. Докажите левый дистрибутивный закон умножения относительно сложения.

Вариант 3. Дано множество А={└, ┘, ├, ┤, ┬, ┴, ┼, ═, ║, ╒, ╓, ╔, ╕, ╖, ╗, ╣, ╥, ╧, ╩, ╫…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами числами. Используя определения умножения, «неполного» деления и деления нацело найдите значения выражений:

1. └ ∙ ┤

2. ║ : ├

3. ┬ : ╖

Вариант 4. Дано множество А={◘, ◙, ☺, ☻, ☼, ♀, ♂, ♠, ♣, ♥, ♦, ♪,…}, удовлетворяющее аксиомам Пеано, то есть его элементы являются целыми неотрицательными числами. Закончите равенства, применив свойства умножения и деления (круглые скобки имеют свое обычное значение, то есть используются для указания порядка выполнения действий):

4. ♂ ∙◙ =

5. (☼ + ♦) : ☻ =

6. ♦∙ (♀ + ☺) =

Вариант 5. При составлении таблиц умножения числа 2 и на 2 в начальной школе обращают внимание учеников на то, что каждое следующее произведение на 2 больше предыдущего. Какие теоретико-математические положения при этом используются?

Вариант 6. Какие теоретические положения лежит в основе вычислений:

8∙9=8∙10-8=80-8=72

450∙9=450∙10-450=4500-450=4050

Составьте аналогичные равенства. Опишите быстрый способ умножения на 9.

Вариант 7. Придумайте модель множества целых неотрицательных чисел удовлетворяющую аксиомам Пеано. Введите свои обозначения. С помощью своих символов запишите

7. свойство деления частного на число;

8. свойство деления числа на частное;

9. монотонность деления;

10. свойство деления произведения на число.

Вариант 8. Число а при делении на 15 дает остаток 0. Число с при делении на 15 дает остаток 7. Какой остаток получится при делении на 15 чисел а+с, а-с, а∙с?

Задача №9.

Натуральное число как мера отрезка. Определение арифметичес­ких действий над числами, рассматриваемыми как меры отрезков.

Вариант 1. Решите задачи. О каких величинах идет речь в следующих задачах. В каких единицах выражены эти величины.

1. Купили 5 пакетов муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?

2. За один прыжок кенгуру продвигается на 12 м. На сколько метров подвинется кенгуру за 4 прыжка?

3. Масса 3 кусков дерева 12 кг. Какова масса 1 куска дерева?

4. Одна машина может перевести 80 т угля. Сколько угля могут перевести 6 таких машин?

5. За три дня туристы прошли 150 км. Какой путь преодолели туристы за 1 день, если ежедневно они проходили одинаковое количество километров?

Вариант 2. Как изменится численное значение величины, если единицу измерения увеличить в 2 раза; уменьшить в 2 раза; увеличить в 10 раз?

Вариант 3. Проиллюстрируйте примерами истинность следующих высказываний:

1. Длина одного и того же отрезка может выражаться различными числами.

2. Длины неравных отрезков могут выражаться одним и тем же числом.

3. Числовые значения площади одной и той же фигуры могут быть различны.

4. Числовые площади неравных фигур могут совпадать.

Вариант 4. Обоснуйте выбор арифметических действий при решении следующих задач:

1. Когда из ящика взяли 4 кг яблок, то в нем осталось 6 кг. Сколько килограммов яблок было в ящике первоначально?

2. От ленты длиной 55 см отрезали 20 см. Сколько сантиметров ленты осталось?

3. Лена сделала уроки за 1ч 30 мин, Наташа делала уроки на 45 мин дольше. Сколько времени потратила Наташа на выполнение домашнего задания?

4. Бабушка сварила 10 л малинового варенья, а земляничного на 2 л больше. Сколько земляничного варенья сварила бабушка?

5. Автобус едет со скоростью 80 км/ч, что больше скорости троллейбуса на 20 км/ч. какова скорость троллейбуса?

Вариант 5. Обоснуйте выбор арифметических действий при решении следующих задач:

1. Тетрадь стоит 5 руб., а альбом - на 20 руб. дороже. Сколько стоит альбом?

2. От Москвы до Киева поезд шел 12 ч, а от Москвы до Санкт–Петербурга - на 5 ч меньше. Сколько часов поезд будет ехать из Москвы в Санкт-Петербург?

3. Масса ящика с гвоздями 12 кг, а гвоздей – 10 кг. Какова масса пустого ящика?

4. Длина тела кита 26 м, а тюленя - 2 м. На сколько кит

5. Скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч, а скорость течения реки 1 км/ч. С какой скоростью плывёт лодка по течению реки?

Вариант 6. Решите задачи различными способами. К каждой из них дайте наиболее целесообразную графическую иллюстрацию.

1. Килограмм яблок стоит 40 руб., килограмм слив – 50 руб. У мамы было 100 руб. Она купила яблок и слив по килограмму. Сколько денег осталась у мамы?

2. Рабочие собрали 34 кг винограда и разложили его по 3 корзинам так, что в первой и второй корзине было 26 кг винограда, а в третьей и первой - 22 кг. Сколько килограмм винограда было в каждой корзине?

Вариант 7. Обоснуйте выбор арифметических действий при решении следующих простых задач:

1. Мальчик купил в магазине 5 карандашей общей стоимостью 25 руб. Сколько стоит 1 карандаш?

2. Из 12 метров ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили?

3. За 5 м ситца заплатили 150 руб. Сколько стоит 1 м ситца?

4. Одна овощерезка может нарезать в минуту 8 кг картофеля. Сколько картофеля она нарежет за 45 мин?

5. Забор имеет форму квадрата. Чтобы выкрасить забор вдоль одной его стороны, потребовалось 750 г краски. Сколько нужно краски на весь забор?

Вариант 8. Обоснуйте выбор арифметических действий при решении следующих составных задач:

1. Когда из гаража выехали 18 машин, в нем осталось машин в 3 раза меньше, чем было. Сколько машин Было в гараже?

2. С трех овец настригли 18 кг шерсти. Сколько шерсти можно получить с 5 таких овец?

3. В пятиэтажном доме 80 квартир. На каждом этаже в подъезде по 4 квартиры. Сколько подъездов в этом доме?