(Негізгі ілеспелі үшжағы)

Жанасушы жазықтыққа перпендикуляр түзу қисықтың бинормалі деп аталады.

Жанама, бас нормаль, бинормаль қисықтың кез келген нүктесінде өзара перпендикуляр және үш түзу үшжақты анықтайды, осы жазықтықтарды жеке-жеке сипаттап анықтамасын берейік:

1. Жанама мен бас нормаль түзулері арқылы өтетін жазықтық жанасушы жазықтық деп аталады.

2. Бас нормаль мен бинормал арқылы өтетін жазықтық нормал жазықтық деп аталады.

3. Бинормал мен жанама түзулерінен өтетін жазықтық түзелуші жазықтық деп аталады.

Жанасушы , нормаль және түзелуші жазықтықтарынан тұратын үшжақ қисықтың негізгі үшжағы немесе ілеспелі (іліктес) үшжағы, немесе серіктес үшжағы деп, ал берілген нүктеде осы үшжақ арқылы пайда болған үшжақты бұрыш үшэдр деп аталады.

Қазіргі геометрияда ілеспелі үшжақ қозғалмалы ұшжақ деп те аталады.

Айталық, қисық

(s)

натурал теңдеуімен берілсін.

1. векторы жанаманың бойымен бағытталған, әрі бірлік вектор. Осы себепті жанама (абсциисы осінің ) бірлік векторын арқылы белгілейміз, демек:

=

бас нормаль бойынша вектор анықталған, бұл векторының бірлік векторынан арқылы белгілейміз, сонда

Олай болса, бірлік векторы бас нормаль түзуінің бойымен бағытталған.

3. Енді бинормалдың бірлік векторын былай анықтаймыз: векторын , , үштігі оң бағдары болатындай етіп таңдар аламыз.

Сонымен, бізге мынау белгілі: = = =1,

= .

Векторы теңдеу үшін мынау орындалады: = , = , = (*)

Енді доғаның бағыты керіге өзгерсін, демек, сонда , , векторларының өзгеруін анықтаймыз (14 сызба)

= - = - ,

Бұдан:

- ,

Демек

= ;

= = =-β

Сонымен мынадай қорытындыға келдік:

Доғаның өсу бағыты өзгергенде жанаманың және бинормалдың векторларының бағыты өзгеріп,ал бас нормалді векторы бағытын өзгертпейді.

9 – Дәріс.

Тақырып. Серре-Френе формулалары

Нүкте қисық бойымен жылжығанда , оның ілеспелі үшжағы өзгеріп отырады. Осы өзгерісті сипаттау үшін бұл векторлардың натурал параметр бойынша алынған туындысын есептей білуіміз керек.

Мәселен,

Ал векторының бірлік векторы олай болса, , векторы векторына коллинеар , демек, R нақты сандар жиынынды жататын k саны табылып

=k (1)

Теңдігі орындалады, мұндағы k коэффициеті s параетріне тәуелді оң сан. Енді бинормальдың векторынан s параметрі бойынша алынған туындысы табамыз:

+ =k

демек,

Векторлардың векторлық көбейтіндісінің қасиеті бойынша векторы әрбір көбейткіш векторларға перпендикуляр, демек, ⊥ , ⊥ . Сонымен қатар вектор бірлік вектор болғандықтан , векторы векторына да перпенидикуляр . Осы айтылғандардан вектор бас

нормальдың бірлік векторымен коллинеар болатыны шығады , пропорционалдық коэффициенті “-x” (каппа ) әріпімен белгілеп, келесі теңдікті аламыз:

(2)

(2) формула Серре-Френенің үшінші формуласы.

Серре-Френенің екінші формуласы теңдігін s параметрі бойынша дифференциалдағаннан оңай алынады:

=

Алдыңғы тармақтағы (*) формуланы ескерсек:

=-k +x (3)

Бұл Серре- Ферненің екінші формуласы (1),(2),(3) формулаларды жинақтап, дифференциалдық геометрияның ең маңызды Cерре-Френе формуласын аламыз:

,

(4)

Серре – Френе формулалары векторларынан s параметрі бойынша алынған туынды- векторларды өрнектейді.

Тарихи мағлұмат. Жоғарыда талған формулалар тулуза қаласында Френенің ретінді басылып шаққанымен бұл формулалар көпшілікке белгісіз болып қалып. 1851 жылы француз математигі Серре осы формулаларды Париждің математикалық журалында жарыққа шығарды. Френенің мақаласы осы журналда 1964 жылы қайтадан жариялаған. Осы себепті (4) формула кейде Серренің формулалары , кейде Френенің формулалары, кейде Серре-Френенің формулалары деп аталады.

10 - Дәріс.

Тақырып. Қисықтың иілімі және бұрылымы. Бірлік вектор туралы лема

Үзындығы бірге тең бірлік векторы өзгере отырып, өсімшесімен қабылдансын:

Бірлік және векторларын О нүктесінен бастап салып, олардың ұштарын A доғамен қосамыз (бірлік шеңбердің доғасы), сонда A доғасының ұзындығы центірлік бұрышына тең (радиан өлшем бірлігінде), демек векторының айналу бұрышы A доғасына тең. Ал A хордасының ұзындығы мынаған тең:

Ал A доғасының ұзындығы нолге ұмтылғанда қатынасының шегі бірге ұмтылады. Демек , (15 сызба )

Олай болса,

Демек, өсімшесін бұрылу φ бұрышымен алмастыруға болады.

Иілім.Нүкте қимықтың бойымен жылжығанда жанаманың бағыты өзгереді. Осы өзгерістің жылдамдығын анықтау үшін доғаның екі нүктесіндегі жанамаларды алып, бұл жанамалардың арасындағы бұрышын M доғасының ұзындығына бөлеміз. M доғасын арқылы белгілейік:

Айталық, M нүктесіндегі жанама түзудің бағтының өзгеру жылдадығын табу үшін, нүктесі M нүктесіне ұмтылғанда қатынасының шегін табамыз.

Иілім деп қисықтың түзуден ауытқуын айтамыз.

(1)

Осы k шамасын берілген нүктесіндегі қисықтың иілімі деп айтамыз.

Қисықтың иілімі Серре-Френе формуласындағы k коэффициентімен беттеседі. Шындығында, Серре-Френе формуласынан:

k=

ал жанама түзудің бірлік векторының өсімшесінің абсолют шамасының оның айналу бұрышына қатынасының шегі бірге тең. Анықтама бойынша

k=

жанаманың бағытын өзгеру тездігін өлшеп, біз қисықтың пішіні ( формасы ) түзу сызықтан қаншаға ауытқығанын байқаймыз. Иілім неғұрлым үлкен болған сайын бұл ауытқу солғұрлым үлкен. Түзу сызықтың иілімі нольге тең болатыны анық.

Бұралым. Серре-Френе формуласындағы x коэффициентін бұралым деп атадық. Енді қисықтың берілген нүктесіндегі бұралымның абсолют шамасы берілген нүктені керетін доғадағы бинормальдың бұрылу бұрышының шегі ретінде анықталатынын көрсетелік.

Серре-Френе формуласының үшіншісінен:

,

бірақ

= ,

себебі бірлік векторының өсімшесін векторының доғасындағы бұрылу φ бұрышымен алмастыруға болады, олай болса,

(2)

Жазық қисықтың бұралымы нольге тең екендігін ақиқат, себебі бинормаль вектор жазықтықтың нормаль векторымен беттеседі де, қисықтың ен бойындағы өзгеріссіз қалады.

Керісінше де дұрыс : егер қисықтың барлық нүктелерінде оның бұралымы нольге тең болса, онда мұндай қисық жазық қисық болады.

11 – Дәріс.

Тақырып. Иілім мен бұралымның есептеу формулалары

Бізге келесі формулалар белгілі:

=k (1)

Соңғы теңдікті s табиғи параметрі бойынша дифференциалдаймыз:

= (2)

(1),(2) теңдіктерді пайдаланып, табатынымыз:

=k =k

және

= ,

k =

=k

Осы формулаларды біріктіреміз:

, =k = (3)

Бұл қатынастар арқылы біз қисықтың иілімі мен бұралымын радиус-вектордың табиғи параметрі бойынша алынған туындылар арқылы өрнектеуге болатынын көреміз. Әдетте, көп жағдайда қисық параметрлік x=x(t), y=y(t), z=z(t) параметрлік теңдеуімен беріледі де, иілім мен бұралымды кез келген t параметрі бойынша алынған туындылар арқылы өрнектеуге тура келеді. Осы жағдайда келесі түрлендіру формулаларын білген жөн.

( ),

,

= ʹʹʹ +2 ʹ ,

Сонымен

= ʹʹʹ +3 ʹ

бұдан

(4)

векторларының векторлық көбейтіндісін есептейміз:

,

Бұдан (3) теңдеуді және векторлық көбейтіндінің қасиетін ескеріп алатынымыз:

k (5)

Енді векторларының аралас көбейтіндісін есептейміз:

= ( ),

(6)

(4) формуладан: сонда (5) формула былай жазылады:

k

Екі жағына да абсолют шама алсақ,

k= (7)

Осы сияқты

x= = (8)

Бұл (7) және (8) формулаларын есептелетін нүктенің координаталары арқылы былайша жазуға болады:

k= ,

x=

Жазықтықтағы қисықтар үшін иілім мен бұралым келесі түрде жазылады:

k= , x=0

Егер қисық айқын теңдеу арқылы берілсе, онда иілім төмендегі формула бойынша есептеледі:

k= .

12 - Дәріс

Тақырып. Қисықтың натурал теңдеулері

Біз бұған дейін қандай да бір болмасын қисықтың теңдеуін қорытып шығару үшін белгілі бір координаталар системасын, мәселен, аффиндік, не тік бұрышты , не поляр, не болмаса тағы басқа бір координаталар системасын қарастырдық. Өзіміз таңдаған системада қисықтың теңдеуін алып, осы теңдеу бойынша қисықтың қасиеттерін көрсетіп, пайымдаулар мен тұжырымдарға келдік.

Бұдан шығатын қорытынды: қисықтың теңдеуі координаталар системасына тәуелді.

Енді мынадай заңды сұрақ туады: қисықты координаталар системасына тәуелсіз яғни координаталар системасына байланыссыз теңдеу арқылы анықтап, осы теңдеу арқылы қисықты сипаттауға бола ма? Бұл сұрақты басқаша мағынада былай тұжырымдауға болады:қисықтың теңдеуін тек оның геометриялық түрімен (пішінімен), демек, формасымен ғана анықтауға болма ма? Жалпы жағдайда, алдағы уақытта қисықтың геометриялық түріне ғана тәуелді теңдеу арқылы анықтап, сипаттауға болытыны көрсетеміз. Қисықтың координаталар системасына тәуелсіз, тек геометриялық формасымен сипатталатын теңдеулері қисықтың натурал (табиғи ) теңдеулері деп аталады.

Қисықтың табиғи теңдеулерін қорытпастан бұрын белгілі түсініктерді еске түсіре кетелік. Координаталар системасын түрлендіргенде фигураның өзгеріссіз қалатын қасиеттері инвариант деп аталады. Мәселен, кез келген қисықтың доғасының ұзындығы, иілім және бұралымы қисықтың инварианты болып табылады.

Үзіліссіз γ қисығының ілеспелі ілеспелі үш серігі (іліктес үш серігі) осы қисықтың доғасының s ұзындығының вектор-функциясы болады, себебі:

k= , x=-

Олай болса, γ қисығы бойынша:

k=k(s), x=x(s)

функцияларын аламыз. Бұл теңдеулер қисықтың натурал немесе табиғи теңдеулері деп аталады.

Қисықтың табиғи теңдеулерін табуға мысал келтірелік:

1 мысал. Гиперболалық винттік сызық келесі теңдеулер бойынша анықталады:

x=a cht, y=a sht, z=at

гиперболалық винттік сызықтың натурал теңдеулерін жазу керек.

Шешуі. Бұл қисықтың доғасының s ұзындығы

s= =a

Енді k – иілімді есептейміз; ол үшін әуелі x,y,z айнымалыларынан t параметрі бойынша бірінші, екінші ретті туындыларды табамыз:

x′=asht, y′=acht, z′=a;

x′′=a cht, x′′=a sht, z′′=0

сонда

k=

Сонымен, гиперболалық винттік сызықтың иілімі k:

k= , ал s=a

Соңғы екі теңдеуден t параметрін шығарамыз: sh t = болғандықтан, .

Бірінші теңдеуге қойсақ:

k=

осы табылған теңдеу гиперболалық винттік сызықтың табиғи теңдеуі.

2 мысал. Циклоида

x=a(t-sint), y=a(1-cost)

параметрлік теңдеулерімен берілген. Циклоиданың табиғи теңдеуін жазу керек.

Шешуі. t параметрі бойынша алынған бірінші және екінші ретті туындылады табамыз:

x′=a(a-cost), y′sin t

x′′= sint·a, y =a cost

және

s=4acos

Доғаның s ұзындығынан:

cos

Иілім k- ға қойып, түрлендіреміз:

k= k=

Циклоиданың табиғи теңдеуі:

13 - Дәріс

Тақырып. Беттер теориясының алғашқы мәліметтері