Практичне заняття № 4.

Тема: Перша основна квадратична форма поверхні.

Мета: Ознайомитись з першою основною квадратичною формою поверхні. Навчитись використовувати першу основну квадратичну форму поверхні в процесі розв’язання задач.

Хід заняття.

1. Знайдіть першу квадратичну форму поверхні обертання:

еліпсоїд обертання.

2. Поверхня S являється частиною фігури, що утворена: а) дотичними; б) головними нормалями; в) бінормалями лінії , де - натуральний параметр. Знайдіть першу квадратичну форму поверхні S.

3. Знайдіть першу квадратичну форму поверхні .

4. Вкажіть, яка з наведених квадратичних форм не може бути першою квадратичною формою деякої поверхні:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Знайдіть кут, під яким перетинаються прямолінійні утворюючі гіперболічного параболоїда та рівняння ортогональних траєкторій до прямолінійних утворюючих.

6. На круговому конусі розглядається сімейство ліній , де - параметр. Знайдіть сімейство їх ортогональних траєкторій.

7. Знайдіть рівняння ліній на прямому гелікоїді що ділять навпіл кути між координатними лініями.

Практичне заняття № 5.

Тема: Довжина дуги кривої та площа області на поверхні.

Мета: Ознайомитись з формулами довжини дуги кривої та площи області на поверхні. Навчитись використовувати ці рівняння в процесі розв’язання задач.

Хід заняття.

1. Задана поверхня:

1. Знайдіть першу квадратичну форму.

2. Обчисліть диференціал довжини дуги для ліній

3. Обчисліть довжину дуги лінії між точками її перетину з лініями

2. Обчисліть, під яким кутом перетинаються лінії на прямому гелікоїді

3. Обчисліть периметр та внутрішні кути криволінійного трикутника розташованого на поверхні, у якої

4. Обчисліть кут між лініями на поверхні

5. Обчисліть площу чотирикутника на прямому гелікоїді що обмежений лініями

Практичне заняття №6.

Тема: Контрольная работа

Мета: Перевірити вміння студентів використовувати на практиці вивчений матеріал.

Практичне заняття № 7.

Тема: Друга квадратична форма поверхні.

Мета: Ознайомитись з формулою другої квадратичної форми поверхні. Навчитися використовувати її при розв’язанні задач.

Хід заняття.

1. Знайдіть другу квадратичну форму поверхні обертання: – параболоїд обертання.

2. Покажіть, що при будь-якому виборі криволінійних координат на площині, її друга квадратична форма тотожньо рівна нулю.

3. Знайдіть головні напрямки та головні кривини прямого гелікоїда

4. Поверхня є частиною фігури, що складається з дотичних до просторової лінії. Знайдіть головні кривини поверхні .

5. Доведіть, що головні напрямки прямого гелікоїда ділят полам кути між напрямками утворюючої та гвинтовой лінії.

6. Обчисліть головні кривини поверхні в точці М(0,0,0).

7. Покажіть, що в довільній точці поверхні один з головних перетинів є пряма.

8. Знайдіть кривини нормальних перетинів поверхні :

1. в довільній точці;

2. в точках ліній, що утворюються при перетині поверхні площинами , в напрямках, що йдуть по дотичним до цих ліній;

3. в точці М(2,2,4) в напрямку дотичної до лінії