5.3. Непрерывность элементарных функций.

Цель этого раздела - доказать факт, которым мы уже пользовались: любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

5.3.1. Непрерывность рациональных функций: 1. Постоянная функция y(х) = C = const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

2. Функция y(х)= х непрерывна в любой точке х ( для 0 возьмём  = , тогда если  х- х₀, то  f(х)- f(х₀) =  х- х₀=).

3. Функция y(х)= х² = х х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций.

4. По индукции функция y(х)= хⁿ = х^n-1 х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций. По той же причине непрерывна функция y(х)= а_nхⁿ, где а_n=C=const.

5. Рациональная функция непрерывна в любой точке х как сумма непрерывных функций.

5.3.2. Непрерывность дробно-рациональных функций: непрерывна в любой точке х, в которой знаменатель отличен от 0, как частное непрерывных функций.

3. Непрерывность показательной функции y(х)= a^x, a>0, a1. Требуется доказать, что . Рассмотрим разность (формула 6 табл.4.4.10) . Эта разность - БМ функция при х х₀, следовательно, а^х при при х х₀.

4. Непрерывность логарифмической функции y=log _a x, a >0, a1. По формуле 7 табл. эквивалентных БМ 

5.3.5. Непрерывность тригонометрических функций: а. .

при х  х₀ (мы воспользовались неравенством |sin х || х|, доказанным в 4.4.7.1. Первый замечательный предел).

б. непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.

в. Функции и непрерывны в точках, в которых они определены, как частное непрерывных функций.

5.3.6. Гиперболические функции непрерывны (thx в точках, в которых shx0), так как они определяются через непрерывную функцию е^х. Обратные гиперболические функции непрерывны , так как они выражаются через непрерывную функцию ln x.

Мы доказали непрерывность основных элементарных функций (кроме обратных тригонометрических, о которых ниже). Отсюда следует непрерывность всех элементарных функций в любой точке их областей определения, так как они определяются как функции, получающиеся из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций.

5.3.7. Из доказанного следует непрерывность показательно-степенной функции y(х)= f(x)^g(x), f(x)>0, так как она представляется в виде y(х)= f(x)^g(x)=e ^g(x)ln(f(x)), т.е. в виде суперпозиции непрерывных показательной и логарифмической функций.

5.4. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.

5.4.1. Определение односторонней непрерывности.

В определении непрерывности функции в точке х₀ требуется существование и равенство . С применением односторонних пределов определяются понятия непрерывности функции в точке слева и справа:

Опр.5.1.7. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ слева, если .

Опр.5.1.8. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ справа, если .

Опр.5.1.9. Если одно из этих условий не выполнено, то функция f(x) имеет в точке х₀ разрыв, соответственно, слева или справа.

Если функция определена на отрезке [a,b], то в левом конце отрезка х₀= a можно говорить только о непрерывности справа, в правом конце (х₀= b) - о непрерывности слева. Для внутренней точки отрезка функция f(x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа (доказать самостоятельно).