5.5. Непрерывность и разрывы монотонной функции.

Теор.5.5.1. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и монотонна на этом отрезке. Тогда f(x) может иметь на этом отрезке только точки разрыва первого рода.

Док-во. Рассмотрим для определённости случай монотонно возрастающей функции. Пусть х₀[a,b] и не является левым концом этого отрезка. Рассмотрим полуинтервал [a, х₀). В разделе 4.3.2. Свойства сходящейся последовательности мы доказали, что монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Совершенно также можно доказать, что функция, монотонно возрастающая на полуинтервале [a, х₀), множество значений которой ограничено на этом интервале, обязана иметь . Действительно, так как множество ограничено сверху (одна из верхних границ - значение f(х₀)), оно имеет верхнюю грань М^*, обладающую тем свойством, что для 0  х₁[a, х₀), в котором f(х₁) М^*  . По монотонности функции и по определению верхней грани для х: х₁х х₀ справедливо неравенство М^*   f(х₁) f(х) М^*, что означает выполнение условий существования с = х₀- х₁. При этом возможны два варианта: либо f(х₀)=М^*, тогда f(х) непрерывна слева в точке х₀; либо f(х₀)М^*, тогда f(х) имеет в точке х₀ скачок, т.е. разрыв первого рода.

Следствие: если множество значений монотонно возрастающей на отрезке [a,b] функции f(х) полностью заполняет отрезок [f (a), f( b)] (т.е. для у[f (a), f( b)] х[a,b] такой, что f(х)= у), то эта функция непрерывна, легко доказать теперь от противного. Если в точке х₀ имеется скачок, то f(х) не может принимать значений, попадающих в интервал (f(х₀-0), f(х₀)).

Ещё одним следствием рассмотренных в этом разделе вопросов является непрерывность обратных тригонометрических функций.

5.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Для теорем этого раздела существенны оба отмеченные в названии обстоятельства: и то, что функция непрерывна, и то, что она рассматривается на замкнутом множестве - отрезке. Если не выполнены эти условия, то все теоремы перестают быть справедливыми. Напомним опр.5.1.6: функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, при этом в точках a и b предполагается непрерывность, соответственно, справа и слева.

Теор.5.6.1 об обращении функции в нуль. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то найдётся точка с[a,b], в которой функция обращается в нуль: f(с) =0, a<c<b.

Док-во. Рассмотрим случай, когда f(а)>0, f (b)<0. Возьмём среднюю точку отрезка х₁=(а+b)/2. Если f(х₁)=0, то теорема доказана и с =х₁; иначе на концах одного из отрезков [a, х₁], [х₁,b] функция опять принимает значения разных знаков (на рис. это второй отрезок), при том опять на левом конце f(х)>0, на правом - f(х) <0. Обозначим этот отрезок [a₁, b₁]. Снова поделим этот отрезок пополам: х₂=(а₁+b₁)/2 и снова либо f(х₂)=0, либо на концах одного из отрезков [a₁, х₂], [х₂,b₁] функция опять принимает значения разных знаков. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных отрезков [a_n, b_n], имеющую, по Аксиоме действительных чисел VII (Аксиома о вложенных отрезках: если {[a_n, b_n]} - счётная последовательность отрезков, таких что a_n a_n+1 и b_n+1 b_n при n, то пересечение этой последовательности непусто, т.е.  хR: х[a_n, b_n] для n.) общую точку с. Для этой точки a_n с  b_n, b _n-а_n0 при n, поэтому с =lim_n®¥ а_n= lim_n®¥ b_n. В каждой точки а_n справедливо f(а_n)>0, в каждой точки b_n f(b_n)<0, переходя в неравенствах f(а_n)>0, f(b_n)<0 к пределам при n и пользуясь непрерывностью f(х), получим: f(с) = f(lim_n®¥ а_n)>0, f(с) = f(lim_n®¥ b_n)<0 , одновременно это может иметь место, только если : f(с) =0. Теорема доказана.

Необходимость непрерывности: функция sgn x + 0.5 принимает на концах отрезка [-1,1] значения разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Необходимость замкнутости множества: функция 1/x непрерывна в каждой точке множества [-1,0)(0,1], принимает значения разных знаков в его левом и правом концах, но нигде не обращается в нуль.

Теор.5.6.2 о промежуточном значении. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, и в двух точках a и b (a < b) принимает неравные значения A= f(а)B= f(b), то для любого числа С, лежащего между A и B, найдётся точка с[a,b], в которой значение функции равно С: f(с) = С.

Док-во. Пусть AB, тогда AСB. Рассмотрим функцию g(х)= f(х)-C. Эта функция непрерывна на [a,b] и принимает на его концах значения разных знаков: g(а)= f(а)-C=А-С0, g(b)= f(b)-C=В-С0. Тогда по теор.5.6.1 об обращении функции в нуль найдётся точка с[a,b], в которой функция обращается в нуль: g(с) =0 g(с)= f(с)-C=0 f(с) = C. Теорема доказана.

Теор.5.6.3 об ограниченности непрерывной функции на отрезке. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Док-во от противного. Предположим, что f(х) неограничена на [a,b], тогда для любого числа n найдётся точка x_n, в которой | f(х)|> n. Из последовательности { x_n } можно выделить подпоследовательность { x_nk }, сходящуюся к точке x₀[a,b]. Так как f(х) непрерывна на [a,b], то : lim_k®¥ f(x_nk) = f(х₀), но это невозможно, так как  f(x_nk) при . Это противоречие и доказывает теорему.

Необходимость непрерывности: функция разрывна в единственной точке отрезка [-1,1], но неограничена на этом отрезке. Необходимость замкнутости множества: функция 1/x непрерывна в каждой точке множества [-1,0)(0,1], но неограничена на этом множестве.

Теор.5.6.4 о достижении минимального и максимального значений. Если функция f(х) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои нижнюю и верхнюю грани.

Док-во. Пусть М^*=sup{f(х): xÎ[a, b]}. Требуется доказать, что х₁Î[a, b], в котором f(х₁)=М^*. От противного: предположим, что для хÎ[a, b] f(х)М^*. Рассмотрим функцию g(х)=1/(М^*- f(х)). Так как, по предположению, знаменатель не обращается в нуль, эта функция непрерывна, следовательно, по Теор.5.6.3 об ограниченности непрерывной функции на отрезке ограничена: >0: g(х)< ,

т.е. число М^*-1/, меньшее М^*, оказывается верхней границей множества {f(х): xÎ[a, b]}, что противоречит определению верхней грани. Аналогично доказывается, что , в котором f(х₂)= М_*=inf{f(х): xÎ[a, b]}.

Необходимость непрерывности и замкнутости множества демонстрируют те же примеры, что и для предыдущей теоремы.

Следствие всех предыдущих теорем: множество значений непрерывной на отрезке [a,b] функции заполняет весь отрезок [М^*, М_*]. В дальнейшем величину М^*=sup_[a,b]{f(х)}=max _[a,b]{f(х)} будем обозначать просто М, величину М_*=inf_[a,b]{f(х)}=min_[a,b]{f(х)} будем обозначать символом m.

Теор.5.6.5 о непрерывности обратной функции. Пусть функция у= f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [a,b]. Тогда на отрезке [m,М] существует обратная функция х = g(у), также монотонно возрастающая (убывающая) на [m,М] и непрерывная.

Док-во. Как доказано выше, множество значений непрерывной функции заполняет весь отрезок [m,М], т.е. для у[m,М] ! х[a,b], такой что у= f(x). Таким образом, функция х = g(у) определена в каждой точке отрезка [m,М]. Эта функция имеет тоже направление монотонности, что и исходная у= f(x): если, например, f(x) возрастает, то из х₁<х₂ y₁= f(x₁)< y₂= f(x₂). Тогда, по смыслу функции х = g(у), из y₁<y₂ x₁= g(y₁)< x₂= g(y₂). Эта функция непрерывна по следствию из Теор.5.5.1.