§2. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными.

2.1. Уравнение с тремя неизвестными.

2.1.1. Определение. Линейным уравнением с тремя неизвестными называется равенство вида

ax+bу+cz=d, (2.1.1)

где ax+bу+cz  многочлен от переменных x, y и z с коэффициентами a, b и c, d  некоторое число. x, y и z называются неизвестными, a, b и c  коэффициентами при неизвестных x, y и z соответственно, d  свободным членом.

Решением уравнения (2.1.1) называется любая упорядоченная тройка чисел (; ; ), при подстановке которых соответственно вместо x, y и z (2.1.1) обращается в верное числовое равенство: a+b+c=d. Решить уравнение (2.1.1)  это значит найти множество всех его решений.

2.1.2. Пример. Решением уравнения 2х3у+z=6 является, например, упорядоченная тройка (4; 1; 1), так как 2431+1=6  верное числовое равенство. Множество всех решений этого уравнения  это все тройки чисел вида (, , 62+3), где  и  независимо друг от друга принимают любые числовые значения. Действительно, для любых чисел  и  имеем, что 23+(62+3)=6 является верным числовым равенством.

2.2. Система из двух уравнений с тремя неизвестными.

2.2.1. Определение. Пусть даны линейные уравнения

a₁x+b₁y+c₁z=d₁, (2.2.1)

a₂x+b₂y+c₂z=d₂. (2.2.2)

Если требуется найти общее решение уравнений (2.2.1) и (2.2.2), то говорят, что они образуют систему. Система, состоящая из уравнений (2.2.1) и (2.2.2), обозначается следующим образом:

(2.2.3)

Общее решение уравнений, составляющих систему, называется решением системы. Решить систему (2.2.3)  это значит либо найти множество всех его решений, либо доказать, что их нет.

Ниже мы сформулируем условия, при которых система (2.2.3) имеет более одного решения и не имеет ни одного решения (теорема 2.2.4).

2.2.2. Определение. Пусть дана система (2.2.3) линейных уравнений. Матрица называется (основной) матрицей системы. Матрица называется расширенной матрицей системы.

Определения равносильных систем, элементарных преобразований систем вводятся аналогично, как и для систем из двух уравнений с двумя неизвестными. Кроме того, напоминаем, что при элементарных преобразованиях системы получается система, равносильная данной.

Это обстоятельство позволяет легко решить систему (2.2.3) с помощью элементарных преобразований.

2.2.3. Пример. Решить системы уравнений:

а) б) в)

г) д) е)

Решение. а)

Неизвестная z может принимать любое числовое значение . Тогда x=2123 и y=1212. Таким образом, множество решений системы: {(2123; 1212; )|R}.

(1) Поменяли местами уравнения (преобразование 3-го типа).

(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго (преобразование 2-го типа).

(3) Перенесли из левых уравнений в правую члены с неизвестной z (поменяв знаки на противоположные)

(4) В первое уравнение вместо y подставили его выражение через z: y=1212z.

Замечание. Вместо z в правые части мы могли перенести y, и тогда множество решений записалось бы в виде {(2+ ; ; 1 )|R}. Естественно, множества {(2123; 1212; )|R} и {(2+ ; ; 1 )|R} совпадают.

б) Разделим первое уравнение на 5. Тогда приходим к системе которая равносильна уравнению x2yz= 3. Она равносильна уравнению x= 3+2y+z, где неизвестные y и z могут принимать любые значения y= и z=. Таким образом, множество всех решений системы  следующее: {(3+2+; ; )|, R}.

в) Разделим первое уравнение на 5 и вычтем из последнего. Придём к равносильной системе второе уравнение которой является противоречивым. Следовательно, система решений не имеет.

Ответ: а) (2123; 1212; ), R;

б) {(3+2+; ; )|, R};

в) Система решений не имеет.

Из предыдущих примеров видно, что система из двух уравнений с тремя неизвестными может иметь бесконечное множество решений, а может вообще их не иметь.

2.2.4. Теорема. Пусть дана система (3.2.3), ₁= , ₂= , ₃= , ₁= , ₂= и ₃= . Тогда:

1) Если хотя бы один из определителей ₁, ₂ или ₃ не равен нулю, то система имеет бесконечное множество решений, зависящих от одного параметра.

2) Если ₁=₂=₃=0 и хотя бы один из определителей ₁, ₂ или ₃ не равен нулю, то система решений не имеет.

3) Если ₁=₂=₃=₁=₂=₃=0, то система имеет бесконечное множество решений, зависящих от двух параметров.

Замечание. Условие ₁=0 равносильно ₂=0 или ₃=0; так что некоторые из этих условий в формулировке теоремы 3.2.4 излишние.

2.2.5. Упражнение. Решить системы, предварительно исследовав их на наличие решений:

а) б) в)

г) д) е)

Решение. а) Так как ₁= =0, ₂= =0, ₃= =0, ₁= =0, ₂= =0, ₃= =0, то система имеет бесконечное множество решений, зависящих от двух параметров. Найдем их. Эта система равносильна уравнению 3x+2y+z= 9 (второе уравнение получается из этого умножением на 3). Положив y= и z=, получаем x=3+ . Тогда (3+ , , )  решение системы, , R.

б) С одной стороны, ₁= =0, ₂= =0, ₃= =0, с другой, ₁= =210. Поэтому система решений не имеет.

в) Так как ₁= =80, то система имеет бесконечное множество решений, зависящих от одного параметра. Найдём их:

Полагая z=, получаем множество всех решений системы: {( , , ) | R}.