2.3. Критерий совместности системы.

2.3.1. Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы.

2.3.2. Упражнение. Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить её методом Гаусса:

а) б)

в) г)

д) е)

Решение. а) Найдём ранги обеих матриц (основной и расширенной) методом окаймления миноров, предварительно выписав основную и расширенную матрицы системы:

A= и =

Найдём ранг основной матрицы:

M₁=20, M₂= =0, = = 160, M₃= =0, = =0. Таким образом, rgA=2.

Для нахождения ранга расширенной матрицы достаточно окаймить ненулевой минор максимального порядка матрицы A 3-й строкой и столбцом свободных членов, так как все миноры матрицы A являются также минорами матрицы : = =0. Следовательно, rg =rgA=2 и система совместна.

Решаем систему эквивалентными преобразованиями расширенной матрицы:

   

(в частности получаем ещё раз, что ранг расширенной матрицы равен 2)

 

  .

Таким образом, x₁= +   , x₂=, x₃=  , x₄=.

б) M₁=30, M₂= =230, M₃= =0, = =0. Таким образом, rgA=2. Далее, = = 330, то есть rg =3. Так как rgArg , то система несовместна.

Ответ: а) ( +   ; ;  ; ), где , R;

б) Система несовместна.

2.4. Общее решение неоднородной системы.

2.4.1. Определение. Пусть дана неоднородная система линейных уравнений

(2.4.1)

Рассмотрим однородную систему

(2.4.2)

у которой матрица коэффициентов совпадает с матрицей коэффициентов системы (2.4.1). Тогда система (2.4.2) называется приведённой однородной системы (2.4.1).

2.4.2. Теорема. Общее решение неоднородной системы равно сумме некоторого частного решения неоднородной системы и общего решения приведённой однородной.

Таким образом, для нахождения общего решения неоднородной системы (2.4.1) достаточно:

1) Исследовать её на совместность. В случае совместности:

2) Найти общее решение приведённой однородной этой системы.

3) Найти какое-либо частное решение исходной (неоднородной).

4) Сложив найденные частное решение и общее решения приведённой, найти общее решение исходной системы.

2.4.3. Упражнение. Исследовать систему на совместность и в случае совместности найти её общее решение в виде суммы частного и общего приведённого.

а) б)

в) г)

д) е)

ж)

Решение. а) Для решения задачи применяем вышеуказанную схему:

1) Исследуем систему на совместность (методом окаймления миноров): Ранг основной матрицы равен 3 (см. решение упр. 2.2.5, а), причём ненулевой минор максимального порядка составлен из элементов 1-й, 2-й, 4-й строк и 1-го, 3-го, 4-го столбцов. Для нахождения ранга расширенной матрицы окаймляем его 3-ей строкой и 6-м столбцом расширенной матрицы: =0. Значит, rgA=rg =3, и система совместна. В частности, она равносильна системе

(2.4.3)

2) Найдём общее решение X₀ приведённой однородной этой системы

.

X₀={(2 ; ; ; ; ) | , R}

(см. решение упр. 2.2.5, а)).

3) Найдём какое-либо частное решение x_ч исходной системы. Для этого в системе (2.4.3), равносильной исходной, свободные неизвестные x₂ и x₅ полагаем равными, например, нулю (это наиболее удобные данные):

и решаем полученную систему: x₁= , x₃= , x₄=5. Таким образом, ( ; 0;  ; 5; 0)  частное решение системы.

4) Находим общее решение X_н исходной системы:

X_н={x_ч}+X₀ ={( ; 0;  ; 5; 0)} + {(2 ; ; ; ; )}=

={( 2 ; ;  + ; 5+; )}.

Замечание. Сравните полученный ответ со вторым ответом в примере 1.2.1 в). Для получения ответа в первом виде для 1.2.1 в) в качестве базисных неизвестных берутся x₁, x₃, x₅ (минор при которых тоже не равен нулю), а в качестве свободных  x₂ и x₄.