§2. Выравнивание вариационного ряда способом «скользящей» средней.

Для выравнивания эмпирического ряда результатов непосредственных измерений или вычислений применяют способ «скользящей» средней. Значение выровненных точек (кроме первой и последней), или просто «скользящей» средней, вычисляют по формуле:

_

х_i' = 1/3 (x_i-1 + x_{i +} x_i+1)

Вычисления первого члена производят по формуле x₁= (7х_i + 4x₂ – 2x₃) : 9, а при вычислении последнего члена нумерацию точек следует вести с конца.

Значение выровненных точек (кроме двух первых и двух последних) при взвешенной «скользящей» средней вычисляется по формуле:

_

x_i = (x_i-2 + 2x_i-1 + 4x_i +2x_i+1 +x_i+2 )

Значение первой и второй точек вычисляют по формулам:

_ _

x₁ = (7x₁ + 5x₂ – x₃ – x₄ ) : 10; x₂ = (3x₁ + 5x₂ + x₃ + x₄ )

При вычислении последних и предпоследних точек нумерацию следует вести с конца.

При подсчёте «скользящих» средних по трём значениям теряются две точки на кривой - по одной справа и слева, а по пяти значениям - по две справа и слева. Исчезающие точки можно поставить путём интерполяции от соседних точек или продолжением линий вправо и влево.

ПРИМЕР:

В табл.1 для зерна пшеницы различной влажности приведен эмпирический ряд данных о микротвёрдости (Н) плодовых оболочек. Необходимо выровнять ряд способом простой и взвешенной „скользящей" средней. Невыравненный и выравненный ряды приведены на рис. 1.

Таблица 1.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
W,%	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28
Xi=H	105	96	100	97	85	95	83	76	82	76

Выравнивание методом простой «скользящей» средней

Xi=H | 102 | 100 | 98 | 94 | 92 | 88 | 85 |80 | 78 | 78

Выравнивание способом взвешенной «скользящей» средней

Xi=H

102

100

98

95

91

89

84

81

80

79

При исследовании характера изменения производственных явлений в течение определённого периода времени составляют моментные динамические ряды в виде однородных статистических величин.

Для выявления основной тенденции развития изучаемого явления производят линейное или параболическое „выравнивание" динамического ряда.

При выравнивании по прямой ряда из n членов, представляющее его уравнение эмпирической линии регрессии имеет у ' = a₀+a₁x, где х - порядковый номер периода времени (0; 1; 2; ...), у и у ' -фактический и выравненный уровень наблюдаемых явлений, а₀ и а₁ - коэффициенты.

Значения коэффициентов находят из уравнений:

a₀n + a₁Σx = Σy и а₀Σх + a₁Σx₂ ,

далее находят для каждого значения х соответствующее значение у. По значениям х и у строят „выравненную" линию регрессии.

В случае если развитие явления соответствует кривой (полиному второй степени), то „выравнивание" динамического ряда производят по формуле:

у ' = а₀ + a₁x + а₂х² , для которой значения а₀, a₁ и а₂ находят из

уравнений:

a₀n + a₁Σx + а₂Σх² =Σy;

а₀Σх + a₁Σх² + а₂Σх³ = Σxy;

а₀Σх² + a₁Σх³ + а₂Σх⁴ = Σx2y;

Для нахождения коэффициентов а₀, а₁ и а₂ применяют метод последовательного «исключения» неизвестных, т.е. построения равносильной системы, имеющих ступенчатый вид.

Обработка первичного экспериментального материала.

Как правило исследователь получает в результате проведенных экспериментов группу чисел, показателей какого-либо признака, хаотически рассеянных, не обобщённых.

Задача заключается в том, чтобы группу исходных чисел превратить в определённую математическую систему, параметры которой могли бы детально её охарактеризовать и, следовательно, обеспечить исследователя полезной информацией.

Для формирования определённой математической системы прибегают к составлению вариационного ряда.

ПРИМЕР:

При измерении частоты вращения вала тахометром зарегистрировано 34 измерения со следующей частотой вращения, об/мин.

81	78	84	90	78
74	84	85	81	84
78	84	74	84	84
85	81	74	78	81
74	84	81	84	85
81	78	81	81	84
84	84	78	81

Как видно, данная группа цифр не даёт никакой информации.

Для составления вариационного ряда вначале проведём операцию ранжирования в порядке возрастания чисел.

74 74 74 74 (4)

78 78 78 78 78 78 (6)

81 81 81 81 81 81 81 81 81 (9)

84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 84 (11)

85 85 85 (3)

90 (1)

Каждое рассмотренное число обозначим символом х, , каждое число

повторений -rij.

Т. о. вариационный ряд - последовательность наблюдаемых значений определённых величин, расположенных в возрастающем порядке.

xi - результаты повторений.

ni - числа повторений результатов - частоты.

Сумму всех частот называют объёмом совокупности.

Вся полученная система называется вариационным рядом. Иногда эти ряды называют эмпирическими или статистическими. Вариационный ряд можно представить графически.

Т. о., выполнив серию испытаний, следует 1) ранжировать полученные числа и 2) составить вариационный ряд, представляющий собой определённую математическую систему.

Приведенный вариационный ряд называется ещё дискретным рядом, т.к. каждый результат выражен одним числом. Кроме дискретных, существуют интервальные ряды.

Интервальным называется такой ряд, у которого каждый результат выражен интервалом.

ПРИМЕР:

Условно принимаем интервал ряда, равный 5 об/мин, получим

от 74 + 5 = 79 4 + 6 = 10

79 + 5 = 84 9 + 11 =20

84 + 5 = 89 3

св. 89 до 89 + 5 = 94 1

Тогда интервальный ряд принимает вид:

xi	ni
74-79 79-84 84-89 89-94	10 20 3 1
	n = 34

Параметры вариационных рядов.

х - средняя арифметическая величина

d - cреднее линейное отклонение

G² - дисперсия

G - среднее квадратическое отклонение

υ - коэффициент вариации

Мо - мода

Me - медиана

; - простая

Взвешенная средняя представляет собой величину, учитывающую час­тоты (веса) результатов измерений. Она вычисляется следующим образом:

1) каждый результат x_i умножаем на свою частоту (n_i), т.е. х_i * n_i;

2) сложить полученное произведение

3) найденную сумму разделить на объём совокупности n

= 2762 = 81,24 об/мин ≈ 81 об/мин

Средняя арифметическая, являясь основной характеристикой вариационного ряда, не может отразить все его особенности. Вследствие этого введены и другие параметры вариационного ряда, называемые показателями вариации, характеризует рассеивание полученных результатов наблюдения по отношению к средней арифметической. Такой характеристикой является среднее линейное отклонение – «d».

Оно находится следующим образом:

1) каждое значение вариации без учёта знака /xi - х / умножают на её частоту n_i _

/xi – х/*n_i ;

2) полученное произведение складывают

;

3) найденную сумму разделяют на объём совокупности

Это означает, что для данной группы измерений частоты вращения вала среднее значение составляет 81 об/мин, а среднее линейное отклонение в сторону уменьшения или увеличения составляет:

d = 2,9 об/мин (81±2,9) об/мин.

Дисперсия: определение.

Вариации, полученные с разными знаками, следует возвести в квадрат и умножить на их частоты. Полученные произведения складывают и делят на объём совокупности.

Дисперсия указывает на рассеивание результатов измерений.

Физический смысл среднего квадратического отклонения совершенно тот же что и среднего линейного отклонения.

В этом случае группа наших замеров характеризуется как

(81 ±3,8) об/мин.

Существует приближённый способ определения среднего квадратичного отклонения, основанный на так называемых правилах шести сигм.

x_max, x_min- наибольшее и наименьшее результата исходного.

Коэффициент вариации ν в % показывает какую часть составляет среднее квадратическое отклонение от среднеарифметического.

Если , то имеет место стабильные однородные однотипные измерения.

Медиана Me = 81 об/мин - результат, расположенный в середине ряда. Мо - это результат наиболее встречаемый в ряду.

Мо=84

81±2,9 (81±3,8)

ν=4,69 Мо=84; Me=81

Приведенные выше исходные данные для вычислений удобно свести в таблицу

1	2	3	4	5	6	7	8	9
74	4	296	-7	7	28	49	196	4
78	6	468	-3	3	18	9	54	10
81	9	729	0	0	0	0	0	19
84	11	924	+3	3	33	9	99	30
85	3	255	+4	4	12	16	48	33
90	1	90	+9	9	9	81	81	34
	n=34	2762			100		478