1.2. Задачи и ответы

1.2.1. Приведите примеры двух событий: а) равновозможных и несовместных, но не образующих полной группы; б) несовместных и образующих полную группу, но не равновозможных; в) равновозможных и образующих полную группу, но несовместных.

1.2.2. Система радиоконтроля с помощью трех сканирующих приемников (сканеров) осуществляет мониторинг радиоизлучений объекта. Для обнаружения нового сигнала достаточно, чтобы он был обнаружен любым из сканеров. Сканеры настроены так, что сигнал не может быть одновременно обнаружен двумя или тремя из них.

Выразить событие A, которое состоит в обнаружении сигнала системой через события A₁, A₂, А₃ состоящие в обнаружении сигнала первым, вторым и третьим сканером соответственно.

Ответ: A = A₁+ А₂ + A₃.

1.2.3. Безотказная работа системы (событие A) возможна при условии, что исправны блоки Б1 (событие A₁), Б2 (событие A₂), ..., Бn (событие A_n).

Как связано событие A с событиями A_i, i = 1, 2, ... , n.

Ответ:

1.2.4. Внутри квадрата, показанного на рис. 1.4, наугад выбирается точка. Событие А – попадание случайной точки в круг 1, событие В – попадание случайной точки в круг 2.

A B

Рис. 1.4.

Как соотносятся с событиями А и В события C, D, Е, F, G, Н, изображенные на рис. 1.5?

Рис. 1.5

Ответ:

1.2.5. А, В, С – три случайных события.

а) Найти выражение для события, состоящего в том, что из A, B, С произошло только событие A; б) произошли события A и В, но С не произошло; в) все три события произошли; г) произошло по крайней мере одно из этих событий; д) произошло по крайней мере два события; е) произошло одно и только одно событие; ж) произошли два и только два события; з) ни одно событие не произошло; и) произошло не более двух событий.

Ответ:

1.2.6. Проводится пуск трех ракет по одной и той же цели. Пусть события A₁ попадание при первом пуске, Ā₁ –промах при первом пуске, A₂ – попадание при втором пуске, Ā₂ – промах при втором пуске, А₃ – попадание при третьем пуске, Ā₃ – промах при третьем пуске.

Определите событие А, состоящее в том, что в цель попадет не менее двух ракет?

Ответ: .

1.2.7. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. События: A_i (i = 1, 2)–исправен i-й блок первого типа, B_j (j = 1, 2, 3) – исправен j-й блок второго типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа.

Выразить событие С, означающее исправность прибора, через события A_i и B_j.

Ответ: .

1.2.8. Известны события А, В и С, причем А  В. Определить сложные события АВ, А + В, ABC и А + В + С.

Ответ: АВ = A; A + В = В; AВС = АС; А + В + С = В + С.

1.2.9. Показать, что события:

а) – достоверно;

б) – невозможно.

1.2.10. Доказать следующие равенства:

1.2.11. Упростить выражения:

Ответ:

1.2.12. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того, что выпадет: а) четное число очков; б) число очков, кратное трем; в) не более пяти очков.

Ответ: а) 1/2; б) 1/3; в) 5/6.

1.2.13. Две удаленные друг от друга однотипные радиостанции, настроены на 10 фиксированных частот, одинаковых у обеих станций.

Какова вероятность того, что при независимом произвольном выборе рабочих частот обе включенные радиостанции окажутся настроенными на одну и ту же частоту?

Ответ: 0,1.

1.2.14. Бросаются две игральные кости.

а) Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6; б) произведение выпавших очков равно 12; в) сумма выпавших очков кратна 5; г) на обеих костях выпадет одинаковое число очков; д) хотя бы на одной грани появится 5 очков.

Ответ: а) 5/36; б) 1/9; в)7/36; г) 1/6; д) 11/36.

1.2.15. В партии п стандартных приборов и m нестандартных. При контроле первые k приборов оказались стандартными.

Определить вероятность Р того, что следующий приборов будет стандартным.

Ответ: .

1.2.16. На пяти одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4 и 5. Две из них наугад вынимаются одна за другой.

а) Найти вероятность того, что сумма цифр на вынутых карточках является нечетным числом; б) вторая цифра меньше первой; в) вторая цифра больше первой ровно на 1.

Ответ: а) 0,6; б) 0,5; в) 0,2.

1.2.17. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад.

Определить вероятность Р того, что набраны нужные цифры.

Ответ:

1.2.18. Каждая из букв слова «событие» написана на одной из семи карточек. Карточки перемешиваются.

Какова вероятность Р того, что при извлечении трех карточек появится (в порядке их выемки) слово «быт»?

Ответ:

1.2.19. Каждая из цифр 1, 3, 5, 6 и 8 написана на одной из пяти карточек. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд.

Найти вероятность того, что полученное пятизначное число будет делиться на четыре.

Ответ: 1/5.

1.2.20. Из группы, содержащей п карточек, перенумерованных от 1 до n, извлекают по одной карточке.

Найти вероятность Р того, что при n-кратном извлечении карточек их номера будут идти в возрастающем порядке, если: а) каждая вынутая карточка после просмотра ее номера возвращается обратно и карточки перемешиваются; б) извлеченные карточки обратно не возвращаются.

Ответ:

1.2.21. В монтируемый узел входят две одинаковые микросхемы. Параметры узла нарушатся, если обе они окажутся с пониженным входным сопротивлением. На складе 10 микросхем, из которых 3 имеют пониженное входное сопротивление.

С какой вероятностью окажутся нарушенными параметры при случайном выборе этих двух микросхем.

Ответ: 1/5.

1.2.22. На складе находится одних a блоков и b блоков других. Два блока повреждены.

Какова вероятность Р того, что повреждены разные блоки?

Ответ: .

1.2.23. В урне a белых и b черных шаров. Из урны вынимаются два шара.

а) Вычислить вероятность P того, что оба шара будут белыми; б) оба вынутых шара будут черными; в) один шар будет белым, а второй – черным.

Ответ:

1.2.24. На десяти из двадцати карточек написана цифра 1, а на остальных десяти – цифра 0. Пять карточек вынимаются наугад.

Найти вероятность Р того, что на двух карточках будет стоять цифра 1, а на трех – цифра 0 (безразлично, в каком порядке).

Ответ:

1.2.25. В урне а белых, b черных и с красных шаров. Из урны вынимают три шара.

Найти вероятность Р того, что среди них не будет шаров одинакового цвета.

Ответ:

1.2.26. В круг радиуса R вписан квадрат. Какова вероятность Р того, что взятая наудачу внутри круга точка, окажется и внутри квадрата?

Ответ:

1.2.27. Во время разговора абонента продолжительностью t сек поступил новый вызов.

Определить вероятность того, что к моменту вызова прошла большая часть разговора.

Ответ: 1/2.

1.2.28. На отрезке АВ длиной l случайно выбирается точка M. Положение точки на отрезке АВ равновероятно.

а) Найти вероятность Р того, что расстояние точки М от середины отрезка не превысит значения а.

б) Найти вероятность Р того, что площадь квадрата, построенного на AM, будет меньше l²/4 и больше l²/9.

Ответ: а) ; б) P=1/6.

1.2.29. С какой вероятностью корабль подорвется на мине при прохождении минного заграждения в одну линию, если интервал между минами l, ширина корабля a, диаметр мины d. Курс корабля составляет угол β с линией расположения мин.

Ответ: .

1.2.30. Последовательность радиоимпульсов с амплитудой U_s и гармоническая помеха с амплитудой U_n совпали во времени. Несущая частота радиоимпульсов равна частоте помехи.

Определить вероятность того, что амплитуда суммы сигнала и помехи окажется меньше произвольно заданного уровня U₀ (0  U₀  U_S), если сдвиг фаз между импульсов является случайным и с одинаковой вероятностью принимает любое значение из интервала 0  2.

Ответ: .

1.2.31. Посадочная система аэропорта обеспечивает заход самолетов на посадку с интервалом не менее 5 мин. По расписанию два самолета должны прибыть в аэропорт с разрывом 10 мин. Первый самолет может войти в зону посадки с отклонением от расписания в пределах ±10 мин, а второй – в пределах +5 мин. Величины отклонений от расписания в указанных пределах равновероятны.

Какова вероятность того, что второму самолету придется уходить в зону ожидания

Ответ: 0,25.

1.2.32. На отрезке АВ длиной l независимо друг от друга выбирают две случайные точки L и М. Положение каждой точки на отрезке АВ равновероятно.

а) Найти вероятность того, расстояние между точками L и М будет не больше некоторого значения a;

б) вероятность того, что точка L окажется ближе к точке А, чем точка М;

в) вероятность того, что точка L окажется ближе к М, чем к А.

Ответ: а) ; б) 1/2; в) 3/4.

1.2.33. Искусственный спутник Земли (ИСЗ) движется по орбите, которая заключена между 60° северной и 60° южной широты. Полагая падение ИСЗ в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30° северной широты.

Ответ 0,21.

1.2.34. Разведывательный приемник с постоянной скоростью и периодом T сканирует некоторый диапазон частот (f₁÷ f₂), где возможно появление сигнала, за которым установлено наблюдение. Полоса пропускания приемника равна 2f. Наблюдаемый сигнал импульсный, его длительность << T, а ширина спектра << (f₂÷ f₁), появление сигнала равновероятно в любой момент времени в любой точке интервала (f₁ - f.,f₂ + f).

Необходимо найти следующие характеристики:

а) вероятность Р₁ обнаружения сигнала;

б) вероятность Р₂ пеленга местоположения передатчика, если частота сигнала известна, а антенна пеленгатора вращается равномерно, причем ширина диаграммы направленности антенны β=18º;

в) вероятность P₃ обнаружения сигнала, если сигнал не является импульсным, а имеет конечную длительность _и (считая, что регистрация сигнала приемником происходит мгновенно);

г) вероятность P₄ определения пеленга, если сигнал имеет длительность _и, и за время _и антенна пеленгатора поворачивается на угол 0,5β.

Ответ : а) б) в) г)

1.2.35. На склад поступили три партии резисторов: две первые партии по 2000, а третья – 4000 штук. Брак в партиях составляет соответственно 1, 2 и 3%.

Каков ожидаемый процент брака в смешанной партии?

Ответ: 2,25%.

1.2.36. Методом случайной выборки проверяется партия изделий, содержащей a качественных изделий и b бракованных. Проверка первых т изделий (m<b) обнаружила, что все они бракованные.

Определить вероятность P того, что из следующих четырех проверяемых изделий по крайней мере два окажутся бракованными.

Ответ:

1.2.37. Из упаковки, содержащей n транзисторов, взят, по крайней мере, один транзистор.

Вычислить вероятность P того, что взято четное число транзисторов, если равновероятно извлечение любого числа транзисторов?

Ответ:

1.2.38. На вход устройства поступают двухсимвольные двоичные кодовые комбинации. Появление нуля и единицы равновероятно

Какова вероятность того, что в поступившей кодовой комбинации будет хотя бы один нуль?

Ответ: 3/4.

1.2.39. В упаковке содержится 36 транзисторов, среди которых 4 бракованных. Для проверки наугад выбирают 3 транзистора.

Какова вероятность того, что среди проверяемых транзисторов окажется хотя бы один бракованный.

Ответ: 0,305.

1.2.40. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одному разу в цель. Вероятность попадания в цель для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,9.

Какова вероятность попадания в цель хотя бы одной пули?

Ответ: 0,98.

1.2.41. Сигналы принимаются двумя независимыми приемниками. Вероятность приема первым приемником равна P₁ , вторым – Р₂.

Определить вероятность P приема сигналов хотя бы одним приемником.

Ответ: P =1- (1- P₁)(1- P₂).

1.2.42. Вероятность выхода частоты принимаемых колебаний за пределы полосы пропускания приемника из-за нестабильности несущей частоты передатчика равна 0,1, а из-за нестабильности частоты гетеродина приемника – 0,2.

Определить вероятность того, что частота принимаемых колебаний не выйдет за пределы полосы пропускания приемника.

Ответ: 0,72.

1.2.43. Две станции дальней радиосвязи одновременно ведут работу с одним корреспондентом на разных частотах. Вероятность прохождения радиосигналов на частоте f₁ равна 0,7; вероятность прохождения на частоте f₂ – 0,8.

Найти вероятность установления связи при одновременной работе обеих радиостанций.

Ответ: 0,94.

1.2.44. Вероятность вывода истребителя-перехватчика наземными системами наведения в район цели равна 0,8. Вероятность обнаружения цели бортовой радиолокационной станцией истребителя в этом районе равна 0,9. Вероятность уничтожения цели истребителем 0,75.

а) С какой вероятностью цель будет уничтожена?

Ответ: 0,54.

1.2.45. В студии три телевизионных камеры. Вероятность того, что каждая камера включена, равна 0,6.

Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

Ответ: 0,936.

1.2.46. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны: 0,8; 0,7; 0,9.

Вычислить вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

Ответ: 0,994.

1.2.47. При изготовлении детали выполняются три операции. Вероятность брака на первой операции равна 0,01, на второй – 0,02 и на третьей – 0,025.

Определить вероятность изготовления стандартной детали при условии, что брак на отдельных операциях появляется независимо от других.

Ответ: 0,946.

1.2.48. При передаче текста 10% букв искажаются и принимаются неверно.

Какова вероятность того, что все пять букв некоторого слова будут приняты правильно?

Ответ: 0,59.

1.2.49. Цех в среднем выпускает 2% бракованных деталей. Из каждой сотни годных деталей в среднем 70 оказываются первого сорта.

Найти вероятность того, что деталь, изготовленная в цехе, окажется первого сорта.

Ответ: 0,686.

1.2.50. Вероятность попадания авиабомбы в цель равна 0,2. Найти вероятность поражения цели тремя бомбами, если 2% сброшенных бомб не взрываются.

Ответ: 0,48.

1.2.51. По каналу связи передаются пяти-символьные двоичные слова. Из-за помех они могут искажаться: каждый переданный символ искажается с вероятностью 0,01 и с вероятностью 0,99 принимается правильно. Все символы передаются и принимаются независимо друг от друга. Передана комбинация 10110.

а) Найти вероятность того, что она принята без искажений;

б) Найти вероятность того, что она будет принята как 11110;

в) Найти вероятность того, что в принятой комбинации будет искажен один символ.

Ответ: а) 0,99⁵, б) 0,0,01*0,99⁴; в) 0,05*0,99⁴.

1.2.52. Цепь подсвета приборной доски состоит из 8 последовательно включенных лампочек. Вероятность того, что каждая из них будет исправна в течение 1000 ч, равна 0,9.

Чему равна вероятность P того, что цепь не выйдет из строя за этот промежуток времени?

Ответ: P = 0,430.

1.2.53. Устройство содержит n1 микросхем, n2 транзисторов и п3 предохранителей. Выход любой детали из строя приводит к неисправности устройства. Вероятность выхода из строя за время T одной микросхемы q₁, транзистора q₂, предохранителя q₃.

Найти вероятность Q того, что за время T устройство выйдет из строя?

Ответ:

1.2.54. Линия связи содержит цепочку из m ретрансляторов. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого ретранслятора одинакова. Ретрансляторы выходят из строя независимо друг от друга, причем отказ любого ретранслятора влечет за собой отказ линии связи.

Определить требуемую вероятность p₁ безотказной работы каждого ретранслятора за промежуток времени T, если надежность всей линии связи за этот промежуток времени должна быть не менее P.

Ответ:

1.2.55. Шкала устройства освещается четырьмя параллельно включенными лампочками. Вероятность того, что каждая из лампочек будет исправна в течение 1500 ч, равна 0,9.

Какова вероятность того, что шкала будет освещена в течение этих 1500 ч, если вышедшие за это время из строя лампочки не заменяются исправными?

Ответ: 0,9999.

1.2.56. Электрическая цепь (рис. 1.6) состоит из n последовательных групп нагревательных элементов, каждая из которых содержит k параллельных ветвей. Вероятность перегорания за время T одного элемента ветви равна q.

Рис. 1.6

Найти вероятность P того, что в течение интервала времени T ток в цепи будет отличен от нуля.

Ответ: P = (1-q ^k)ⁿ.

1.2.57. Радиоэлектронный блок состоит из трех параллельных цепей, каждая из которых включает в себя четыре последовательно соединенных элемента. Две цепи являются резервными. Надежность элементов в основной цепи 0,97, в резервных цепях 0,92.

Определить надежность блока.

Ответ: 0,991.

1.2.58. Разрыв электрической цепи может произойти вследствие выхода из строя элемента k или двух элементов k₁ и k₂. Вероятность выхода из строя элемента k равна q_k = 0,3, а для элементов k₁ и k₂ равна q₁ = q₂ = 0,2.

Определить вероятность разрыва электрической цепи.

Ответ: 0,328.

1.2.59. Система состоит из пяти элементов; надежность p каждого элемента равна 0,8. Работа каждого элемента необходима для работы системы в целом. Для повышения надежности системы предлагается три варианта соединения элементов (рис. 1.7а, 1.7б, 1.7в).

Какой вариант резервирования наиболее надежный?

Рис. 1.7

Ответ: Вариант а): P_а = 0,815; P_б = 0,548; P_в = 0,663.

1.2.60. Между корреспондентами M и N происходит обмен информацией по схеме, приведенной на рис. 1.13, где k₁ и k₂ – оконечная аппаратура, a L₁, L₂, L₃ – каналы, взаимно резервирующие друг друга. Выходы из строя элементов схемы – независимые события. Вероятности безотказной работы элементов k_l , k₂ , L₁, L₂, L₃ за время T соответственно равны 0,8; 0,7; 0,9; 0,6; 0,5.

Рис. 1.8.

Какова вероятность того, что за время T связь не прервется?

Ответ: 0,549.

1.2.61. Радиостанция может работать в трех режимах по мощности: 100%, 50% и 25% полной мощности. Вероятности работы радиостанции в этих режимах соответственно равны: 0,7; 0,1; 0,2. Вероятности отказа при работе в этих режимах за время T равны соответственно 0,3; 0,2; 0,05.

Определить вероятность того, что за T часов работы радиостанция не выйдет из строя.

Ответ: 0,76.

1.2.62. На конвейер поступают для сборки детали, изготовляемые на двух станках: 40% – с первого станка 60% – со второго. Вероятности изготовления нестандартной детали на этих станках равны: на первом – 0,01; на втором – 0,02.

Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется нестандартной?

Ответ: 0,016.

1.2.63. Вероятность попадания каждого из n орудий в цель равна p_l , р₂ ,..., р_n. Произвольно выбирается орудие и выполняется выстрел.

С какой вероятностью снаряд попадет в цель.

Ответ:

1.2.64. В команде два отличных, два хороших и четыре посредственных стрелка. Отличный стрелок при одном выстреле попадает в цель с вероятностью 0,9, хороший – 0,7 и посредственный – 0,5. Наугад вызываются два стрелка, и каждый из них стреляет один раз.

Какова вероятность того, что оба стрелка попадут в цель?

Ответ: 0,418.

1.2.65. Три истребителя-перехватчика независимо один от другого атакуют бомбардировщик противника. Вероятности обнаружения бомбардировщика первым, вторым и третьим истребителями соответственно равны 0,6; 0,7 и 0,8. Если бомбардировщик обнаружен, то первый истребитель сбивает его с вероятностью 0,2; второй и третий – с вероятностью 0,15.

С какой вероятностью бомбардировщик будет сбит.

Ответ: 0,345.

1.2.66. В урне находится два белых и четыре черных шара. Из урны извлекают два шара, цвет которых остается неизвестным, и откладывают их в сторону, после чего вынимают третий шар.

Какова вероятность того, что последний шар белый?

Ответ: 1/3.

1.2.67. Прибор с вероятностями р₁=0,25; р₂=0,5; р₃=0,25 принадлежит к одной из трех партий. Вероятности того, что он проработает заданное время для этих партий, соответственно равны 0,1; 0,2 и 0,4.

Определить вероятность того, что прибор проработает заданное время.

Ответ: 0,225.

1.2.68. По каналу связи передаются два символа: нуль и единицу. Из-за помех возможны искажения сигналов: единица с вероятностью p переходит в единицу, а с вероятностью 1-р в нуль; нуль с вероятностью q переходит в нуль и с вероятностью 1-q в единицу (рис.1.9). Наугад отправлен сигнал.

а) Найти вероятность того, что принятым символом будет “1”; б) вероятность того, что принятым символом будет “0”.

Рис.1.9

Ответ: a) P=1/2 (1+p-q); б) P=1/2 (1-p+q).

1.2.69. Вероятности отказа первого, второго и третьего элементов равны соответственно 0,1; 0,2 и 0,3. Вероятности выхода из строя прибора при отказе одного, двух и трех элементов равны соответственно 0,25; 0,6 и 0,9.

Найти вероятность выхода прибора из строя.

Ответ: 0,16.

1.2.70. Самолет, вылетающий на задание, создает помехи, которые с вероятностью 0,4 подавляют систему ПВО. Если система ПВО подавлена, то самолет проходит к цели необстрелянным и с вероятностью 0,8 поражает цель. Когда система ПВО не подавлена, то самолет с вероятностью 0,7 будет сбит.

Найти вероятность того, что цель будет поражена.

Ответ: 0,464.

1.2.71. Прием сообщений корреспондента осуществляется на два приемника, пространственно разнесенных друг относительно друга. Вероятность приема сигнала первым радиоприемником равна 0,8, вторым – 0,7, а при одновременной работе обоих приемников – 0,94

Вероятность безотказной работы первого приемника за время сеанса связи составляет 0,9, второго – 0,85, а радиостанции корреспондента – 0,8. Определить вероятность проведения сеанса связи.

Ответ: 0,708.

1.2.72. По каналу связи, состоящему из передатчика ПД, ретранслятора РТ и приемника ПР, передаются двоичные символы: “1” и “0”. Из-за помех сигналы могут искажаться. На участке ПД – РТ единица с вероятностью p₁ переходит в единицу и с вероятностью 1 - p₁ в нуль; нуль переходит в нуль с вероятностью q₁ и в единицу с вероятностью 1- q₁ . Ha участке ретранслятор – приемник эти вероятности соответственно равны р₂ ; 1- р₂; q₂ и (1- q₂).

Рис. 1.10

Найти вероятность P того, что комбинация символов “10”, посланная передатчиком, будет принята приемником без искажений.

Ответ:

1.2.73. В 45% случаев бомбометание выполняется с высоты h₁, в 30% – с высоты h₂ и в 25% – с высоты h₃. Вероятности поражения цели с этих высот при сбрасывании одной бомбы соответственно равны 0,2; 0,3; 0,4. На цель при заданной высоте сбрасываются три бомбы. Высота бомбометания заранее неизвестна. Для поражения цели достаточно одного попадания.

Определить вероятность поражения цели.

Ответ: 0,613.

1.2.74. Три самолета-разведчика независимо один от другого, высылаются в район расположения войск противника для уточнения координат объекта, который предполагается обстрелять тремя ракетами. Если координаты цели не уточнены, одна ракета уничтожает объект с вероятностью 0,2; если уточнены – с вероятностью 0,7. Перед выходом в разведываемый район самолет-разведчик с вероятностью 0,6 может быть сбит ПВО противника.

Определить: а) вероятность уничтожения объекта ракетами с учетом результатов разведки; б) вероятность уничтожения объекта, при условии, что радиосвязь самолетов с их базой нарушена, и для сообщения координат объекта им надо вновь пересечь зону действия ПВО.

Ответ: а) 0,868; б) 0,686.

1.2.75. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Вероятность поражения цели при одном попадании равна 0,1; при двух попаданиях – 0,3; при трех попаданиях – 0,6. Сделано три выстрела, в результате которых цель была поражена.

Каково наиболее вероятное число попаданий?

Ответ: Два попадания.

1.2.76. 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Система контроля с вероятностью 0,98 признает годной стандартную продукцию и с вероятностью 0,05 нестандартную.

С какой вероятностью прошедшее контроль изделие действительно является годным?

Ответ: 0,998.

1.2.77. Самолет-перехватчик выполняет 25% всех полетов на больших высотах, 10% - на средних и 65% - на малых. Вероятности выхода самолета на объект на этих высотах соответственно равны 0,75; 0,9; 0,65. Самолет вышел на заданный объект.

С какой вероятностью полет проходил на малой высоте.

Ответ: 0,604.

1.2.78. По двоичному каналу связи (рис. 1.11) от источника сообщений (ИС) с вероятностями р(1) = 0,6 и p(0) = 0,4 получателю сообщений (ПС) передаются символы “1” и “0”. Из-за помех возможны искажения сигналов: с вероятностью р(1/0) = 0,2 “1” перейдет в “0” и с вероятностью р(0/1) =0,1 “0” переходит в “1”. При приеме зарегистрирован символ “1”.

Рис. 1.11

а) Какова вероятность того, что и передавался символ “1”;

б) Какова вероятность того, что фактически передавался символ “0”.

Ответ: а) 0,87; б) 0,13.

1.2.79. Три самолета выполняют бомбометание по некоторой цели. Каждый самолет сбрасывает одну бомбу. Вероятность попадания в цель для первого самолета равна 0,1; для второго самолета – 0,2 и для третьего – 0,3. В результате бомбометания в цель попало две бомбы.

Найти вероятность того, что в цель попали бомбы с первого и второго самолетов.

Ответ: 7/46.

1.2.80. В трех одинаковых упаковках содержится по 10 деталей: в первой упаковке 8 стандартных и 2 бракованные; во второй – 9 стандартных и 1 бракованная; в третьей – только стандартные. Выбираются наудачу 3 детали из одной упаковки.

Определить вероятность того, что они взяты из второй упаковки, если среди них оказалось 2 стандартные и 1 бракованная детали.

Ответ:9/23.

1.2.81. Количество бракованных изделий в партии равновероятно. Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие оказавшееся бракованным.

Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?

Ответ: 5.

1.2.82. Вероятности недолета попадания и перелета при одном выстреле из орудия равны 0,1; 0,7; 0,2. Для другого орудия вероятности этих событий равны соответственно 0,2; 0,6 и 0,2. Наугад выбранное орудие стреляет трижды. Отмечено одно попадание, один недолет и один перелет.

Найти вероятность того, что стреляло первое орудие.

Ответ: 7/19

1.2.83. Алфавит источника сообщений состоит из 10 равновероятных символов. Символы для передачи выбираются наугад.

Какова вероятность того, что при передаче пяти символов один и тот символ появится не менее трех раз.

Ответ:0,00856.

1.2.84. Для увеличения надежности каждый символ (“1” или “0”) передается по каналу связи три раза подряд. На приемной стороне регистрируется тот символ, который в принятой последовательности из трех символов содержится не менее двух раз.

Определить вероятность правильного приема, если вероятность правильного приема каждого отдельного символа равна 0,9.

Ответ:0,972.

1.2.85. Импульсно-кодовая комбинация образуется с помощью шести двоичных символов (“1” или “0”), которые располагаются на позициях кодовой комбинации случайным образом и независимо друг от друга. Появление “1” или “0” на каждой позиции равновероятно. Вычислить вероятность того, что в кодовой комбинации число нулей будет меньше двух.

Ответ: 7/64.

1.2.86. На складе хранится 150 измерительных приборов, из которых 50 новых. Рабочий брал со склада 6 раз по одному прибору и возвращал его перед получением следующего.

С какой вероятностью среди этих 6 приборов окажется не более двух новых.

Ответ:0,68.

1.2.87. Устройство содержит 9 микросхем, каждая из которых с вероятностью 0,05 нестандартна. Устройство отказывает, если в нем не менее двух нестандартных микросхем.

Найти вероятность отказа устройства.

Ответ:0,073.

1.2.88. При вращении антенны радиолокатора от цели успевает отразиться 8 импульсов. Для обнаружения цели необходимо, чтобы не менее 6 из них превысили заданный пороговый уровень. Вероятность превышения порога для каждого импульса 0,9.

Вычислить вероятность обнаружения цели за один оборот антенны радиолокатора.

Ответ: 0,96.

1.2.89. Прибор выходит из строя, если в нем откажет не менее пяти датчиков одного типа или не менее двух датчиков другого типа. Вероятности отказа датчиков соответственно равны 0,7 и 0,3.

Найти вероятность того, что прибор будет работать, если отказало пять датчиков.

Ответ:0,36.

1.2.90. Радиоэлектронный комплекс объекта содержит 10 компонентов. Вероятность отказа каждого компонента в течение времени T равна 0,1. Отказы компонентов не зависят друг от друга.

а) Вычислить вероятность того, что за время T откажет хотя бы один компонент; б) откажут ровно два компонента; в) откажут не менее двух компонентов.

Ответ: а) 0,652; б) 0,194; в) 0,264.

1.2.91. По воздушной цели делается четыре независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,1. При трех попаданиях цель поражается с вероятностью 1, при двух – 0,8 и при одном – 0,5.

Найти вероятность того, что цель будет поражена.

Ответ: 0,188.

1.92. Проектируется многоканальная телекоммуникационная система для подключения к коммутатору сети 10 абонентов. Каждый абонент предполагает занимать один канал в среднем 12 мин в течение часа. Вызовы абонентов независимы друг от друга.

Какое минимальное количество каналов N необходимо для того, чтобы с вероятностью 0,99 в любой момент обслужить всех абонентов?

Ответ : N = 5.

1.2.93. На ограничитель поступает последовательность из восьми случайных по амплитуде независимых импульсов. Вероятность превышения порога ограничения каждым импульсом равна 0,25.

Вычислить: а) вероятность того, что из 8 импульсов не менее 6 превысят порог; б) наивероятнейшее число превысивших порог импульсов.

Ответ: а) 0,00422; б) 2.

1.2.94. Студент решает задачу с вероятностью 0,3.

Скольким студентам должна быть предложена эта задача, чтобы с вероятностью не менее 0,99 она была решена?

Ответ: Не менее 14.

1.2.95. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,95. Сделано 400 изделий.

Найдите наиболее вероятное число изделий, не удовлетворяющих стандарту.

Ответ: 20.

1.2.96. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0,01. По самолету сделано 100 независимых выстрелов.

Найти вероятность двух попаданий в самолет.

Ответ: Р₁₀₀(2)  0,184.

1.2.97. В передаваемой по каналу связи последовательности символов любой символ может исказиться с вероятностью 0,2. Символы искажается независимо друг от друга.

Какова вероятность того, что в принятой последовательности из 10 000 символов от 2000 до 2100 окажутся искаженными?

Ответ: 0,494.

1.2.98. Доля изделий первого сорта в продукции завода составляет 60%.

С какой вероятностью в партии из 500 изделий окажется от 310 до 330 изделий первого сорта?

Ответ: 0,177.

1.2.99. Три студента защищают лабораторную работу с вероятностями соответственно 0,3; 0,4 и 0,5.

а) Какова вероятность защиты лабораторной работы одним из них? б) двумя? в) тремя?

Ответ: а) 0,79; б) 0,35; в) 0,06.

1.2.100. Четыре студента пропускают на лекцию с вероятностями соответственно 0,3; 0,4; 0,5 и 0,6.

а) Найти вероятность того, что лекцию пропустит один (две, три, четыре) из них; б) не менее трех из них.

Ответ: а) 0,302; (0,380; 0,198; 0,036); б) 0,234.

1.2.101. Вероятности нарушения регулировки блоков Б1, Б2, Б3 и Б4 за время T соответственно равны 0,4; 0,2; 0,3; 0,3. Из-за нарушения регулировки одного блока устройство отказывает с вероятностью 0,3; двух – 0,5; трех – 0,7; четырех – 0,9.

Найти вероятность отказа устройства за время T

Ответ: 0,316.

1.2.102. По линии связи передано четыре сигнала вызова с разными амплитудами. Вероятности приема каждого из сигналов не зависят от приема остальных и соответственно равны 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. Вероятность установления связи при приеме одного сигнала равна 0,2, при приеме двух –0,6, а при приеме трех и четырех сигналов – единице.

а) Найти вероятность того, что будет принято k сигналов (k = 0, 1,2, 3, 4); б) будет установлена связь.

Ответ: а) 0,168; 0,394; 0,320; 0,106; 0,012; б) 0,389.

1.2.103. Какова вероятность того, что при бросании двенадцати игральных костей каждая грань выпадет дважды?

Ответ: 0,0034.

1.2.104. Девяти радиостанциям разрешена работа на 3 частотах: f₁, f₂ и f₃. Выбор частоты на каждой станции осуществляется случайным образом.

Какова вероятность того, что на каждой из частот будут работать точно 3 станции?

Ответ: 0,0854.

1.2.105. Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одна от другой 4 торпеды. Вероятность попадания торпеды в корабль равна 0,75. Вероятность потопления корабля одной торпедой равна 0,5, а вероятность повреждения - 0,25. От двух повреждений корабль тонет.

С какой вероятностью того корабль будет потоплен.

Ответ: 0,982.