2.2. Задачи и ответы

2.2.1. Приведите примеры дискретных и непрерывного случайных величин.

2.2.2. Какие размерности имеют функция распределения W(x) и плотность вероятности w(x)?

2.2.3. Симметричная игральная кость бросается 3 раза. Найти ряд распределения числа появлений цифры 4.

Ответ:

xi	0	1	2	3
p(xi)

2.2.4. По двоичному каналу связи с помехами передаются две цифры: единица и нуль Априорные вероятности передачи этих цифр одинаковы р(1) = р(0) =1/2. Из-за помех возможны искажения. Вероятности перехода единицы в единицу и нуля в нуль соответственно равны p(1|1) = р, а р(0|0) = q.

Как будут распределены вероятности приема нуля и единицы?

Ответ: .

2.2.5. Вероятность обнаружения цели при каждом цикле обзора РЛС равна р.

Как распределены вероятности числа циклов обзора до первого обнаружения цели.

Ответ: .

2.2.6. Проводятся последовательные испытания k приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным.

Построить ряд распределения случайной величины X (числа испытанных приборов), если прибор выдерживает испытания с вероятностью р.

Ответ: .

2.2.7. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до первого попадания.

Найти закон распределения вероятностей числа сделанных выстрелов, если известно, что при одном выстреле вероятность попадания первого стрелка равна р₁, а второго стрелка – р₂.

Ответ: - для четного числа выстрелов,

- для нечетного числа выстрелов, k = 0, 1, 2, 3, ... .

2.2.8. Из 25 приборов, среди которых 10 бракованных, случайным образом выбраны 5 для проверки их параметров.

а) Найти распределение вероятностей числа бракованных приборов в выборке;

б) функцию распределения W(x) числа бракованных приборов в выборке.

Ответ:

xk	<0	0	1	2	3	4	5	>5
p(xk)	0	0,0565	0,257	0,386	0,237	0,0593	0,00475	1
W(xk)	0	0,0565	0,314	0,7	0,937	0,996	1	1

2.2.9. Принимается 5 сигналов в шумах. Вероятность приема каждого сигнала равна 0,4.

Определить и построить: а) ряд распределения числа принятых сигналов; б) функцию распределения W(x) числа принятых сигналов.

Ответ:

xk	<0	0	1	2	3	4	5	>5
p(xk)	0	0,07776	0,25920	0,3456	0,2304	0,0768	0,01024	0
W(xk)	0	0,07776	0,33696	0,68256	0,91296	0,98976	1	1

2.2.10. Пyск ракет проводится до двух попаданий в цель. Вероятность p попадания одной ракеты в цель равна 0,5.

Как распределены вероятности числа пусков ракет.

Ответ: , k = 2, 3, 4.....

2.2.11. Вероятность получения отметки от цели на экране радиолокатора при одном цикле обзора равна р. Цель считается обнаруженной, если от нее получено n отметок.

Как распределены вероятности числа циклов обзора.

Ответ:

2.2.12. Прибор, состоящий из блоков а, b₁ и b₂, дает отказ, если происходит событие С=А+B₁B₂, где А – отказ блока a; B₁ и B₂ – соответственно отказы блоков b₁ и b₂. Отказы происходят при попадании в блок хотя бы одной космической частицы. Попавшая в прибор частица попадает в блоки с вероятностями P_a= 0,5; P_b1= P_b2= 0,25.

Определить закон распределения числа частиц, попадание которых в прибор приводит к его отказу.

Ответ: p(k)=1-2·0,25 ^k , k  1.

2.2.13. Стрельба по подвижной цели ведется до первого попадания. Вероятность попадания от выстрела к выстрелу не меняется и равна 0,6. На стрельбу отпущено 4 снаряда.

а) Вычислить ряд распределения случайной величины X расхода снарядов; б) функцию распределения случайной величины X.

Ответ: а)

xk	<1	1	2	3	4	>4
p(xk)	0	0,6	0,24	0,96	0,064	0
W(xk)	0	0,6	0,84	0,936	1	1

2.2.14. Ряд распределения вероятностей случайной величины X приведен в таблице.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
p(x)	0,05	0,15	0,2	0,2	0,25	0,1	0,05

а) Рассчитать функцию распределения W(х) случайной величины X и построить ее график; б) Найти вероятность того, что величина X не превзойдет по абсолютной величине 1.

Ответ:

a)

x	<-3	-3	-2	-1	0	1	2	3	>3
W(x)	0	0,05	0,2	0,4	0,6	0,85	0,95	1	1

б) .

2.2.15. Вероятность отказа для всех приборов в партии одинакова и равна 0,5. Проводятся последовательные ускоренные испытания приборов на надежность до первого отказа, после чего они прекращаются.

Найти плотность вероятности w(х) случайной величины X – числа испытанных приборов, если.

Ответ:

2.2.16. Функция распределения W(x) случайной величины X задана графиком (рис. 2.6 а).

Рис. 2.6

а)Найти аналитическое выражение для W(х); б) построить график плотности вероятности w(х); в) найти вероятность того, что величина X будет находиться в пределах от 0,2 до 0,8.

Ответ:

а)

б) график w(x) показан на рис. 2.6б;

в) P( 0,2 <X ≤0,8)=0,3.

2.2.17. Плотность вероятности w(х) X случайной величины, распределенной по закону Симпсона, показана на рис. 2.7.

Найти: а) аналитические выражения плотности вероятности w(x) и функции распределения W(x); б) вероятность того, что случайная величина X будет находиться в пределах от –0,5 до +0,5.

Рис. 2.7.

Ответ:

2.2.18. График плотности вероятности W₁(x) случайной величины X показан на рис. 2.8.

Рис. 2.8.

Найти выражения плотности вероятности w(х) и функции распределения W(х) случайной величины X.

Ответ:

2.2.19. Случайная величина X подчинена закону Пуассона с параметром распределения λ=2.

а) Построить ряд и функцию распределения W(х) величины X;

б) определить вероятность того, что случайная величина X будет находиться в пределах от 2 до 4.

Ответ: а)

xk	<0	0	1	2	3	4	5	…	k	…
p(xk)	0	0,135	0,271	0,271	0,18	0,0902	0,0361
W(xk)	0	0,135	0,406	0,677	0,857	0,9472	0,9833

б) P(2≤X≤4) = p(2)+ p(3)+ p(4) = W(5) – W(1) = 0,5412.

2.2.20. Случайная величина X подчинена закону Пуассона с параметром λ:

Доказать справедливость следующих соотношений:

2.2.21. В цель попадает случайное число осколков X, распределенное по закону Пуассона с параметром λ = 4. Каждый осколок, попавший в цель, поражает ее (независимо от других) с вероятностью 0,3.

С какой вероятностью цель будет поражена.

Ответ: 0,699.

2.2.22. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами т_х=3, σ_x =2. Как изменится плотность вероятности w(x), если параметры примут значения т_х = -3, σ_x = 4?

2.2.23. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами т_х = -2 и σ_x = 4.

а) Запишите выражения для плотности вероятности w(x) и функции распределения W(x) величины X и постройте их графики; б) С какой вероятностью выполняется неравенство -1Х< 1.

Ответ:

где Φ (x) — интеграл вероятности.

б) P(-1 ≤ X ≤ 1) = 0,175.

2.2.24. Сообщение передается последовательностью амплитудно-модулированных импульсов с шагом квантования по амплитуде равным Δ. На сообщение накладываются шумы, распределенные по нормальному закону с плотностью вероятности

Если мгновенное значение шума превышает половину шага квантования Δ, то при передаче сообщения возникает ошибка.

При каком шаге квантования вероятность ошибки из-за шумов не превысит 0,1.

Ответ: Δ ≥ 3,4σ.

2.2.25. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами т_х = 0 и σ_x.

Найти вероятности P₁, P₂, P₃ того, что величина X не превзойдет по абсолютной величине σ_x, 2σ_x, 3σ_x.

Ответ: P₁0,683; P₂0,955; P₃0,997.

2.2.26. Стрельба ведется из одной и той же точки вдоль прямой. Средняя дальность полета снаряда равна 120 км.

Дальность полета X есть нормально распределенная случайная величина со среднеквадратическим отклонением 3 км.

Сколько процентов выпускаемых снарядов даст перелет от 6 до 9 км.

Ответ: 2,14%.

2.2.27. Длина детали распределена по нормальному закону с параметрами т_х =25 см и σ_x =0,2 см.

Какую точность длины детали можно гарантировать с вероятностью 0,95?

Ответ: Отклонение длины детали от среднего значения не превзойдет Δl=0,392 см.

2.2.28. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением σ_x.

Определить вероятность того, что |X-т|<4 σ_x.

Ответ: 0,999968.

2.2.29. Результат измерения длительности τ импульса подчиняется нормальному закону распределения. Среднеквадратическое отклонение σ_x метода измерения равно 0,001 сек, т_х =0.

Каким должно быть число ε, чтобы с вероятностью 0,997 выполнялось неравенство |-₀| < ε, где ₀ – истинное значение длительности импульса?

Ответ: ε = 0,003 сек.

2.2.30. Расстояние до объекта измеряют с помощью метода, среднеквадратическая ошибка которого равна 30 м. Результат измерения распределен по нормальному закону. Систематическая ошибка отсутствует.

а) Найти вероятность того, что измеренное значение расстояния отличается от истинного не более чем на 16 м; б) на 30 м; в) на 60 м.

Ответ; а) 0,264; б) 0,500; в) 0,823.

2.2.31. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Ее среднее значение т_х = 0.

Каким должно быть среднеквадратическое отклонение _х, чтобы вероятность нахождения случайной величины X в интервале (α, β) была наибольшей, если 0 <α < β.

Ответ: .

2.2.32. Случайная величина X – ошибка измерительного прибора, распределена по нормальному закону с дисперсией 16 мВ². Систематической ошибки нет.

: а) Найти вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка X превзойдет по модулю 6 мВ не более трех раз; б) хотя бы один раз окажется в интервале 0,5 –3,5 мВ.

Ответ: а) 0,999; б) 0,776.

2.2.33. В круге радиуса R наудачу выбрали точку. Вероятность попадания точки в любую область, пропорциональна площади этой области.

Найти функцию распределения W(x) и плотность вероятности w(x) расстояния X точки до центра круга.

Ответ:

2.2.34. На отрезке AB длиной l наугад выбрана точка M Вероятность попадания этой точки в любой отрезок, лежащий целиком внутри AB, зависит только от длины этого отрезка и пропорциональна ему.

а) Найти функцию распределения W(x) и плотность вероятности w(x) площади прямоугольника со сторонами AM и MB; б) вероятность P того, что площадь прямоугольника будет меньше 3l ²/16.

Ответ:

б)

2.2.35. На окружности радиусом R и с центром, расположенным в начале координат, наудачу выбрана точка X. Вероятность попадания точки на любую дугу окружности зависит только от длины этой дуги и пропорциональна ей.

а) Найти функцию распределения W(x) и плотность вероятности w(x) положения проекции X точки на ось абсцисс; б) вероятность выполнения неравенства |X| < R/2.

Ответ:

б) P(|X| < R/2)=1/3;

2.2.36. Функция распределения W(x) непрерывной случайной величины X задана выражением

а) Найти коэффициент а; б) плотность вероятности ц(x); в) вероятность попадания величины X на интервал (2, 3].

Ответ:

a) a = 1/16; в) P(2 < X ≤ 3) = 5/16.

2.2.37. Случайная величина X распределена по закону Коши с плотностью вероятности

а) Как должны соотноситься между собой параметры с и h; б) определить функцию распределения W(x) случайной величины X; в) построить графики w(x) и W(x) при h=1; г) вычислить вероятность выполнения неравенства -1<X1 при h=l.

Ответ:

2.2.38. На устройство с порогом срабатывания 2В поступает случайное напряжение X, распределенное по закону Релея .

Определить вероятность превышения порога этим случайным напряжением.

Ответ: .

2.2.39. Сигнал, амплитуда которого A - случайная величина, распределенная по закону Релея , принимается на n антенн, разнесенных друг относительно друга на такие расстояния, при которых сигналы можно считать статистически независимыми.

С какой вероятностью сигнал на всех антеннах одновременно не превысит уровень H.

Ответ:

2.2.40. Функция w(x) задана выражением

а) При каком значении b эта функция будет плотностью вероятности случайной величины X; б) найти вероятность нахождения X примет в интервале от 1 до 2; в) вероятность того, что при 3-х независимых испытаниях X ни разу не попадет в интервал от 1 до 2.

Ответ: а) b = 3; б) P (1 < X ≤ 2) = 7/8; в) P₃ (2 < X ≤ 1) = (1/8)³.

2.2.41. Фаза принимаемого сигнала случайная величина. Ее плотность вероятности описывается функцией

а) При каком значении A функция w(x) будет плотностью вероятности? б) Найти функцию распределения фазы W(x); в) вероятность того, что фаза на выйдет за пределы (- /3 ,+ /3].

Ответ:

а) A= 1/2;

б) P(- π/3 < X ≤ π/3) = 0,866.

2.2.42. Плотность вероятности w(x) случайной величины X описывается формулой .

а) Найти постоянную b; б) вероятность того, что в двух независимых наблюдениях случайная величина X не превзойдет 1.

Ответ:

а) b =2/;

б) P₂ (X ≤ 1) = [(2/) arctg (e)]².

2.2.43. Cрок службы X элементов устройства описывается функцией распределения Вейбулла

Найти плотность вероятности w(x) случайной величины X,

Ответ:

2.2.44. Функция распределения W(x) случайного времени X безотказной работы аппаратуры описывается формулой

а) Найти плотность вероятности w(x); б) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени T.

Ответ:

2.2.45. Сигнал u_с (t) = A sin (ωt + φ₀) суммируется с гармонической помехой u_п (t) = A sin (ωt + φ₀ + φ), где φ –фаза помехи, случайная равномерно распределенная в интервале от - π до π величина.

Найти вероятность того, что напряжение суммарного колебания не превзойдет половину амплитуды сигнала.

Ответ :P (X < A/2) = 0,16.

2.2.46. Группа самолетов выполняет одиночное и независимое бомбометание по мосту, ширина которого равна 10 м. Направление захода – вдоль моста. Прицеливание – по средней линии моста. Среднеквадратическое отклонение точки падения бомбы при нормальном рассеивании в направлении, перпендикулярном полету, равно 37 м. Систематической ошибки нет. Каждый самолет сбрасывает одну бомбу. Для разрушения моста достаточно одного попадания.

Сколько следует послать самолетов, чтобы с вероятностью не менее 0,9 разрушить мост?

Ответ: n > 21.

2.2.47. Самолет выполняет одиночное бомбометание по колонне войск противника, ширина которой 8 м. Направление полета – вдоль колонны, прицеливание – по средней линии. Среднеквадратическое отклонение точки падения бомбы при нормальном рассеивании в направлении, перпендикулярном полету, равно 14,8 м. Из-за ветра возникает систематическая ошибка – центр рассеивания смещается в направлении, перпендикулярном полету на 10 м.

Найти вероятность попадания бомбы в колонну.

Ответ: 0,171.

2.2.48. Ведется стрельба по шоссе шириной 10 м. Прицеливание ведется по средней линии шоссе. Из-за ветра точка попадания смещается вдоль шоссе в среднем на 20 м и поперек на 5 м. Среднеквадратическое отклонение при нормальном рассеивании точки попадания в направлении, перпендикулярном шоссе, равно 14,8 м.

С какой вероятностью хотя бы один из трех снарядов попадет шоссе?

Ответ: 0,578.

2.2.49. Доказать, что для независимых случайных величин X и Y справедливо равенство W₂(x, у) = W(x) W(y).

2.2.50. Принимается два независимых сигнала S₁ и S₂. Вероятность приема первого сигнала равна p₁, второго p₂.

Найти функцию распределения W₂(x, у) случайного вектора с координатами (X, Y), где X – число принятых сигналов S₁, Y – число принятых сигналов S₂.

Ответ:

2.2.51. Плотности вероятностей независимых координат случайного вектора равны w(x₁), w(x₂), ..., w(x_n).

Найти функцию распределения W_n(x₁, x₂,...,x_n) этого вектора.

Ответ:

2.2.52. Независимые случайные величины X и Y распределены по нормальному закону с параметрами т_х=1, m_v=–3, σ_x ²=9, σ_y²=16.

Какова плотность вероятности W₂(x, у) случайного вектора (X, Y).

Ответ:

2.2.53. Плотность вероятности w₂(x, у) двумерного случайного вектора (X, Y) имеет вид

Чему равны параметры распределения т_х, т_у, σ_x, σ_у.

Ответ: m_x= -3, т_у = 5, σ_x =5, σ_у = 3.

2.2.54. Независимые случайные величины X и Y распределены равновероятно в интервалах (0, 1) и (-1, 1) соответственно.

Найти функцию распределения W₂(x, у) системы случайных величин (X, Y).

Ответ:

2.2.55. Плотность вероятности W₂(x,y) системы двух случайных величин (X, Y) имеет вид

.

а) Найти коэффициент b; б) вероятность попадания величины (X, Y) в квадрат -1<X1; 0<Y1; в) функции распределения W₂(x, у), W(x), W(y); г) плотности вероятностей w(x) и w(y); д) зависят ли случайные величины X и Y друг от друга?

Ответ: а) ; б) P(-1<X1; 0<Y1) = 0,125;

в)

г)

д) случайные величины X и Y независимы.

2.2.56. Функция распределения W₂(x, у) системы двух случайных величин (X, Y) задана выражением

а) Найти плотность вероятности w₂(x,y) случайного вектора (X, Y); б) плотности вероятностей w(x) и w(y); в) зависят ли случайные величины X и Y друг от друга; г) найти вероятность попадания величины (X, Y) в квадрат с вершинами: (1, 1), (0,1), (0, 0), (1, 0).

Ответ: а) б)

в) случайные величины X и Y независимы; г)

2.2.57. Плотность вероятности w₂(x, у) случайного вектора (X, Y) имеет вид .

а) найти коэффициент b; б) определить плотности вероятностей w(x) и w(y) координат вектора X и Y, в) выяснить, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.

Ответ: а) b=1/4; б) ;

в) случайные величины X и Y независимы.