2 Практичні заняття

Номер заняття	Номер розділу	Найменування та зміст практичної роботи	Обсяг, год.	Посилання на літературу	Примітки
1	2	3	4	5	6
1	1	Метричні простори.	2	3.1.1: [3], 3.3.1: [1]

1	2	3	4	5	6
2	2	Принцип стискуючих відображень. Різноманітні застосування.	4	3.1.1: [2], [3]
3	4	Побудова ортонормованих систем в Евклідовому просторі.	2	3.1.1: [1], 3.3.1: [1]
		Всього за семестр	8

На настановчій сесії видається завдання на контрольну роботу, яку студент повинен виконати в період між сесіями. Текст контрольної роботи і варіанти контрольних завдань приводяться нижче.

У заліково-екзаменаційній сесії студентам видається перелік контрольних теоретичних питань, по яким вони повинні підготуватися до заліку з курсу „Функціональний аналіз”.

Передбачаються також консультації студентів у період між сесіями, а також безпосередньо перед проведенням заліку.

Текст контрольних питань

1. Метричні простори. Аксіоми метрики. Простори .

2. Метричні простори. Аксіоми метрики. Простори послідовностей .

3. Метричні функціональні простори. .

4. Метричні функціональні простори .

5. Повнота. Приклади метричних просторів.

6. Теорема про замкнені кулі.

7. Принцип стискуючих відображень (ПСВ).

8. Застосування ПСВ до розв’язування скалярних рівнянь.

9. Застосування ПСВ до розв’язування СЛАР.

10. Лінійний многовид. Лінійна залежність векторів. Базис.

11. Лінійні нормовані простори. Аксіоми норми. Відповідність метричним просторам.

12. Банаховий простір .

13. Банаховий простір .

14. Банаховий простір .

15. Підпростір в ЛНП, приклади підпросторів.

16. Евклідові простори. Скалярний добуток, норма. Приклади Евклідових просторів.

17. Характеристична властивість Евклідових просторів.

18. Лінійний многовид. Підпростір. Базис в ЛНП.

19. Ортонормовані системи в Евклідових просторах. Процес ортогоналізації Шмідта.

20. Теорема рахованості ортонормованої системи в сепарабельному Евклідовому просторі.

21. Ортонормований базис в Евклідовому просторі. Навести приклад.

22. Евклідовий простір .Скалярний добуток, норма, ортонормованих базис.

23. Евклідовий простір . Скалярний добуток, норма, ортонормованих базис.

24. Евклідовий простір . Скалярний добуток, норма, ортонормованих базис.

25. Гільбертові простори. Приклади ГП.

26. Апроксимація в ГП. Відстань від елемента до підпростору.

27. Теорема о проекції в Н.

28. Ортогональна декомпозиція в Н.

При самостійній роботі студентів по розділу 1, рекомендується використовувати посібник 3.1.3 – [1] (стор. 6 – 24).

У розділу 2 особливу увагу необхідно приділити принципу стиснених відображень (3.1.3 – [1], стор. 34 -41) . Цей принцип буде використаний при виконанні контрольної роботи.

Суттєво використовується в прикладній математиці й інформатиці Гільбертів простір Н, ортогональні системи елементів з Н, ряди Фур'є в Н, проблема апроксимації в Н. У зв'язку з цим особливу увагу необхідно приділити вивченню (або хоча б ознайомленню) геометрії Гільбертова простору, знати приклади конкретних Гільбертових просторів l², L². Цей матеріал, сконцентрований у розділах 4 - 5, можна вивчати по багатьом джерелам (3.1.1 – [1], 3.1.2 – [1], 3.1.3 – [1], стор.99 – 133).

Перед виконанням контрольної роботи необхідно переглянути в конспекті лекцію з розділу 2, потім уважно прочитати стор. 34 -40 у посібнику 3.1.3 – [1].

Треба мати на увазі, що «Функціональний аналіз» складна математична дисципліна, що має справу з абстрактними поняттями, об'єктами й операціями. Тому наявні в літературі керівництва досить складні для первісного засвоєння, особливо коли в читача дефіцит часу. У цьому змісті, навчальний посібник 3.13 – [1] є більш легким для сприйняття, тому що він адаптован до студентської аудиторії Сумського державного університету.