Билет № 28
1. Частица движется в плоскости xy
со скоростью
,
где
и
– орты осей x и y,
α и β – постоянные. В начальный момент
частица находилась в точке x = y = 0.
Найти: a) уравнение
траектории частицы y(x);
б) радиус кривизны траектории в зависимости
от x.
2. Материальная точка массой m = 2 кг движется под действием некоторой силы F согласно уравнению x = A + Bt + Ct2 + Dt3, где C = 1 м/с2, D = –2 м/с3. Найти значения этой силы в моменты времени t1 = 2 с и t2 = 5 с. В какой момент времени сила равна нулю?
3. На экваторе с высоты h = 500 м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на какое расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали тело при падении.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 29
1. Точка движется по окружности со скоростью V = αt, где α = 0,50 м/с2. Найти её полное ускорение в момент, когда она пройдёт n = 0,10 длины окружности после начала движения.
2. Брусок массой m2 = 5 кг может свободно скользить по горизонтальной поверхности без трения. На нём находится другой брусок массой m1 = 1 кг. Коэффициент трения соприкасающихся поверхностей брусков k = 0,3. Определить максимальное значение силы Fmax, приложенной к нижнему бруску, при которой начнётся соскальзывание верхнего бруска.
3. Акробат на мотоцикле описывает «мёртвую петлю» радиусом r = 4 м. С какой наименьшей скоростью Vmin должен проезжать акробат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 30
1. Частица движется по дуге окружности радиусом R по закону l = Asinωt, где l – смещение из начального положения, отсчитываемое вдоль дуги, A и ω – постоянные. Найти полное ускорение частицы в точках l = 0 и ± A, если R = 1,00 м, A = 0,80 м и ω = 2,00 с-1.
2. Катер массой m = 2 т трогается с места и в течение времени τ = 10 с развивает при движении по спокойной воде скорость V = 4 м/с. Определить силу тяги F мотора, считая её постоянной. Принять силу сопротивления движению пропорциональной скорости, коэффициент сопротивления k = 100 кг/с.
3. К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Как велика сила натяжения шнура T в момент, когда гиря проходит положение равновесия? Какой угол φ с вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения шнура равна весу гири?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Билет № 31
1. Точка движется по плоскости так, что её тангенциальное ускорение aτ = α, а нормальное ускорение an = βt4, где α и β – положительные постоянные, t – время. В момент t = 0 точка покоилась. Найти радиус кривизны R траектории точки и её полное ускорение как функции пройденного пути S.
2. Моторная лодка массой m = 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги мотора F = 0,2 кН. Считая силу сопротивления − Fс пропорциональной скорости, определить скорость лодки V через Δt = 20 с после начала её движения. Коэффициент сопротивления k = 20 кг/с.
3. Самолёт описывает петлю Нестерова радиусом R = 200 м. Во сколько раз сила F, с которой лётчик давит на сиденье в нижней точке траектории, больше веса лётчика P, если скорость самолёта V = 100 м/с?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------