Задача№2

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами органических материально-денежных ресурсов в количестве , , единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс.руб. товарооборота расход утерся в количестве единиц, ресурса второго вида в количестве единиц, ресурса третьего вида в количестве единиц. Для продажи 2 и 3 групп товара на 1 тыс.руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве , единиц, ресурсов второго вида в количестве , единиц, ресурсов третьего вида в количестве , единиц. Прибыль от одах трех групп товаров на 1тыс.руб. товарооборота составляет соответственно , , (тыс.руб.).

Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

Первая буква	Фамилия									Имя			Отчество
А	1	2	3	4	5	1	2	3	4	30	40	50	12	13	14
Б	4	1	2	3	4	5	1	2	3	60	70	80	10	6	7
В	3	4	1	2	3	4	5	1	2	90	20	10	8	9	1 0
Г	2	3	4	1	2	3	4	5	1	10	30	40	11	12	13
Д	1	2	3	4	1	2	3	4	5	50	60	70	14	15	16
Е	5	1	2	3	4	1	2	3	4	80	90	20	16	12	13
Ж	4	5	2	3	4	5	1	2	3	20	30	40	14	15	10
З	3	4	5	2	3	4	5	1	2	50	70	60	7	8	9
И	2	3	4	5	2	3	4	5	1	80	70	90	10	11	12
К	2	1	3	4	5	2	3	4	5	40	50	60	13	14	15
Л	5	2	1	3	4	5	2	3	4	70	80	90	16	13	12
М	4	5	2	1	3	4	5	2	3	30	40	50	14	16	15
Н	3	4	5	2	1	3	4	5	1	60	80	70	13	14	15
О	1	3	4	5	2	1	3	4	5	90	80	70	6	7	8
П	5	1	3	4	5	2	1	3	4	35	45	55	9	10	11
Р	4	5	1	2	3	4	2	1	3	65	75	85	12	13	14
С	3	4	5	1	2	3	4	2	1	95	100	105	15	16	14
Т	1	3	4	5	3	4	2	5	2	100	90	80	14	13	12
У	3	1	4	5	2	3	4	5	2	70	35	45	7	6	11
Ф	2	3	1	4	5	2	3	4	5	55	65	75	10	9	8
Х	3	2	3	1	4	5	1	2	3	85	95	100	10	14	15
Ц	4	4	2	3	1	4	5	1	2	45	60	70	14	12	15
Ч	2	3	4	2	3	1	4	5	1	65	40	30	15	8	9
Ш Э	1	2	3	3	2	3	1	4	5	65	50	60	6	8	7
Ю Я	5	1	2	3	4	2	3	1	4	100	65	80	15	7	8

Пример 5: Максимизировать целевую функцию F=-х₄+х₅ при ограничениях:

Решение.

Данная система уравнений совместна, так как ранги матрицы системы

и расширенной матрицы

совпадают и равны 3. Выражая базисные переменные (стоящие в единичных столбцах) х₁, х₂, х₃, через свободные переменные х₄ и х₅, приходим к системе

(7)

Помимо системы (7) базисные переменные выразим через свободные переменные и в целевой функции (в нашем примере F = -x₄ + x₅ уже выражена через свободные переменные x₄ и x₅). Полагая теперь х₄ = 0, х₅=0 находим базисные переменные: х₁=1, х₂=2, х₃=3. Таким образом, первое допустимое базисное решение системы уравнений есть (1, 2, 3, 0, 0) . При найденном допустимом решении целевая функция F имеет значение 0, то есть F₁=0.

Теперь попытаемся увеличить значение F₁. Увеличение х₄ уменьшит F₁, так как перед х₄ в выражении F = -x₄ + x₅ стоит отрицательный коэффициент, а увеличение x₅ даёт увеличение F₁. Увеличим поэтому x₅ так, чтобы х₁, х₂, х₃, не стали отрицательными, оставив х₄=0. Из второго уравнения (7) видим, что х₅ можно увеличить до 2 (так, чтобы x₂ оставалось бы 0, при x₄ = 0). Тогда значение переменных будут (5, 0, 1, 0, 2), а значение F₂ = 2. Как видно величина F на втором шаге увеличилась.

Поскольку x₂ и x₄ оказались равными 0, то далее примем за свободные неизвестные х₂ и х₄, тогда х₅ = 2-х₂+2х₄

и от системы (7) переходим к эквивалентной ей системе (8)

(8)

Причем и F в этом случае будет равной

F = 2-х₂+х₄

Для увеличения F будем увеличивать х₄ (так как перед x₂ стоит отрицательный коэффициент) Из второго уравнения системы (8) видно, что при условии неотрицательного х₃ значение х₄ можно довести до х₄=1/5, тогда имеем (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5), F₃ =11/5.

Поскольку в решении получено x₂ = x₃ = 0, то примем x₂ и x₃ за свободные переменные и выразим х₁, х₄, х₅, через х₂ и х₃ .Получим

x ₁ = 28/5 - 7/5 x₂ - 3/5 x₃

x₄ = 1/5 + 1/5 x₂ – 1/5 x₃

x₅ = 12/5 – 3/5 x₂ – 2/5 x₃

причем F = 11/5 – 4/5 x₂ – 1/5 x₃

Так как коэффициенты при x₂ и при x₃ в выражении для F отрицательны, то увеличить значение F уже невозможно. Поэтому полагая х₂= х₃=0 получаем наибольшее значение F = 11/5 при решении (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5)

Ответ: F_max = 11/5 при X* = (28/5, 0, 0, 1/5, 12/5)