Глава 2. Координатное линейное пространство.

Координатное линейное пространство и его основные свойства.

Линейным (векторным) пространством называется множество   произвольных элементов, называемых векторами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, т.е. любым двум векторам   и   поставлен в соответствие вектор  , называемый суммой векторов   и  , любому вектору   и любому числу   из поля действительных чисел   поставлен в соответствие вектор  , называемый произведением вектора   на число  ;

Свойства:

1. Любое линейное пространство имеет только один нулевой вектор

2. Каждый вектор линейного пространства имеет один противоположный вектор

3. Если вектор(-х) противоположен вектору х, то вектор х противоположен(-х)

4. Для любых векторов а и б уравнение а+х=б относительно х имеет решение и единственное

5. Произведение произвольного элемента линейного пространства на 0 равно нулевому вектору 0*х=0

6. Вектор противоположный данному вектору х, раен произведению х на число -1: (-1)x=-x

7. Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор

Линейная зависимость и независимость систем векторов.

Набор векторов   называется системой векторов.

Система из   векторов   называется линейно зависимой, если существуют такие числа  , не все равные нулю одновременно, что

Система из   векторов   называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при  , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.

Критерий линейной зависимости.

1.Теорема. (условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Свойства линейной зависимости и независимости систем векторов.

 1. Любая система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства,содержащая нулевой вектор, линейн зависима.

2. Любая система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства,содержащая пару взаимно противоположных векторов, линейн зависима.

3. Любая подсистема векторов линейно независимой системы векторов линейного пространства линейно независима.

4. Любая система векторов линейного пространства, содержащая линейно зависимую подсистему векторов, линейно зависима.

5. Система векторов линейного пространства линейно зависма тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы линейно выражается через остальные векторы системы (представлен в виде разложения по векторам системы).

6. Система векторов линейного пространства линейно независма любая её подсистемы векторов.

6. Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора линейного прострранства, линейно независима.

Основная теорема о линейной зависимости.

Пусть даны 2 системы векторов

А1,а2,….,а_n (I) и b1,b2,…..,b_q (II)

Если система векторов(I) является лнз и каждый вектор системы(I) линейно выражается через векторы системы (II), то число векторов в системе(I) не превосходит числа векторов системы (II) тоесть q<n

Линейная выразимость, линейная эквивалентность и ее свойства.

Говорят что система векторов А линейно выражается черех систему Б если каждый вектор а принадлежит А является линейной комбинацией конечного подмножества векторов системы Б

Две системы вектроров А и Б называются эквивалентными (А~Б), если они линейно выражаются через друг друга

Свойства:

1. А~ А(рефлексивность)

2. А~Б, то Б ~ А(симетричность)

3. Если А~Б, Б ~С, то А~С(транзитивность)

Различные определения базиса.

1. Базисом системы векторов А называется любая ее линейно независимая подсистема Б удовлетворяющая любому из равносильностей

(

*Системы векторов А линейно выражаются через подсистему Б

*Систеиа векторов(Б,а), получающаяся присоединением к Б любого вектора а принадлежающего А, является линейно независимой

* В систеиме А не существует линейно независимых под систем с числом векторов больше чем в Б

)

2. Базисом системы векторов А называется такая ее линейно независимая подсистема Б, через которую выпажаются все векторы системы А

3. Базисом системы векторов А называется любая ее максимальная линейно независимая подсистема.

Свойства базисов.

1. Система векторов А эквивалентна любому своему базису Б

2. Количество векторов во всех базисах системы векторов А одно и тоже

Определение ранга системы векторов.

1) Рангом системы векторов называются число векторов в любом базисе этой системы

2) Рангом системы векторов называются максимальное число ее линейно независимых векторов

Свойства ранга.

1)Если система векторов А линейно выражается через систему векторов Б, то ранг системы А мньше или равен рангу системы Б

2) ранги эквивалентных систем равны

Определение ранга матрица.

1)Рангом матрицы называют ранг системы векторов образованной ее столбцами

2)Рангом матрицы называют максимальное число ее линейно не зависимых столбцов

Основная теорема о ранге матрицы.

Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля миноров этой матрицы

Следствия (Равенство рангов по столбцам и строкам. Критерий равенства нулю для определителей).

Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, тоесть равно рангу матрицы

Определитель равен нулю тогда и только тогда когда его строки линейно зависимы