Глава 5. Комплексные числа.

Поле комплексных чисел, его существование и единственность. Действия над комплексными числами в алгебраической форме Комплексное сопряжение его свойства.

Модуль комплексного числа, его свойства.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

Формула для извлечения корней и её геометрическая интерпретация. Группа корней из единицы.

Первообразные корни.

Различные критерии первообразности. Применение к получению корней из произвольного числа.

Глава 6. Многочлены.

Многочлен.

Степень суммы и произведения многочленов.

Теорема о делении с остатком в кольце многочленов над полем. Деление на линейный многочлен.

Схема Горнера. Примеры.

Отношение делимости и его свойства.

Ассоциированность и критерий ассоциированности.

Наибольший общий делитель (НОД), теоремы о его единственности и существовании (алгоритм Евклида).

Ассоциативное свойство НОД (рекуррентная формула).

Критерий НОД в терминах линейной комбинации.

Взаимно простые многочлены, критерий взаимной простоты, свойства взаимной простоты.

Наименьшее общее кратное и его свойства. Существование НОК.

Неприводимые многочлены над полем, примеры.

Свойства неприводимых многочленов.

Каноническое разложение многочлена, элементарные делители, кратности неприводимых многочленов.

Поведение кратности при дифференцировании.

Корень многочлена. Критерий корня в терминах делимости.

Кратность корня многочлена.

Теорема о числе корней многочлена с учетом кратности. Следствия. Теорема об отделении кратных множителей.

Теорема Виета.

Эквивалентные определения алгебраически замкнутого поля.

Основная теорема алгебры (без док-ва). Следствие.

Теорема о существенно комплексных корнях многочлена с действительными коэффициентами. Следствия.

Теорема о неприводимых многочленах над полем действительных чисел. Следствия.