Задача № 2.3

Задание.

Определить максимальный расчетный расход в заданном створе водотока с вероятностью превышения Р=0,33 % на основании многолетних гидрометрических измерений максимальных расходов.

Исходные данные.

Исходные данные, приведенные в табл. 2.3.1, включают значения максимальных годовых расходов воды в реке для каждого условного года наблюдений.

Методические указания к решению задачи 2.3

Расчетный расход воды является главной гидрологической характеристикой.

Расчетным максимальным расходом воды называют расход, на пропуск которого рассчитывают отверстия мостов. Чем больше расчетный расход, тем больше должно быть отверстие моста или трубы. Увеличение расхода вызывает повышение соответствующего ему уровня воды, а это увеличивает высоту насыпи подходов к мосту или трубе. Следовательно, повышение расчетного расхода приводит к удорожанию всего перехода.

Уменьшение расчетного расхода хотя и приводит к удешевлению перехода, но повышает вероятность повреждения или разрушения перехода водным потоком.

Превышение характеристик потока над расчетными является основной причиной, угрожающей нормальной эксплуатации большинства мостов. Такое превышение может привести к аварийным ситуациям и даже катастрофическим последствиям, вплоть до полного разрушения мостов, насыпей, дорожных труб и т. д.

Надежность работы перехода определяется не только величиной расчетного расхода, но и его повторяемостью. Если более высокие расходы встречаются редко, то можно считать, что переход, рассчитанный на этот расход, будет иметь высокую надежность на пропуск паводков. Если расходы выше расчетного встречаются часто, переход надежным считать нельзя.

Поэтому определение вероятных расходов воды в реке, в частности максимальных, принимаемых для расчета сооружений переходов через водотоки, производится методом математической статистики с учетом ряда наблюдавшихся расходов как нескольких случайных величин.

Определение расчетных гидрологических характеристик при наличии данных гидрометрических наблюдений достаточной продолжительности осуществляется непосредственно по этим данным путем применения аналитических функций распределения ежегодных вероятностей превышения.

Эмпирические кривые распределения ежегодных вероятностей превышения строятся на клетчатках вероятностей.

Основой построения кривой обеспеченности служит ряд эмпирических данных гидрометрических наблюдений за стоком воды, например, расходов воды в реке. Если распределить хронологический ряд максимальных расходов воды Q₁,Q₂,Q₃,^Q_n в убывающем прядке получим статистический ряд.

Если имеется статистический ряд наблюдавшихся расходов с числом лет наблюдений n, то может быть вычислена вероятность появления одного из них с порядковым номером т.

Эмпирическая ежегодная вероятность превышения Р_т гидрологических характеристик определяется по формуле ш

где Р (%) - обеспеченность каждого ранжированного значения ряда; т - порядковые номера членов ряда, расположенные в убывающем порядке; n - число лет наблюдений.

Полученные значения обеспеченности Р (%) наносят на график Q=f(P), где на оси ординат находятся величины среднегодовых расходов воды, а на оси абсцисс - вероятность превышения (обеспеченность) Р(%) (рис. 2.3.1).

К полученному семейству точек подбирается аналитическая кривая обеспеченности или проводится сглаженная (усредняющая) эмпирическая кривая обеспеченности. Полученная кривая Q=f(P%) называется эмпирической кривой обеспеченности максимальных расходов воды.

Кривая обеспеченности характеризует распределение расходов воды и показывает, в каком числе случаев, выраженном в процентах, из общего числа случаев, принятых за 100%, будет наблюдаться или превышена (или не превышена) данная величина среднегодового расхода.

При этом термин «вероятность превышения (обеспеченность)», например, Р=1% означает, что превышение расхода вероятно в одном случае из 100, а «вероятность превышения (обеспеченность)», например Р=99% указывает, что расход воды обеспечен в 99 случаях из 100.

Иногда в расчетах используют термин повторяемость расходов воды в зависимости от водности года, обозначаемая т.

Соотношения величин обеспеченности Р (%) и повторяемости т представлены в Приложении 2.

Кривая обеспеченности обычно характеризуется тремя параметрами: средним

арифметическим значением ряда ^Qi, коэффициентом вариации (изменчивости) C_V и коэффициентом асимметрии Cs. Эти параметры кривой распределения (обеспеченности) являются обычно полне достаточными при решении гидрологических задач. С их помощьюлице т - порядковый номер расхода, n - число наблюдений, ^Qmax - среднее многолетнее значение максимальных расходов

По расходам ранжированного ряда и соответствующим им вероятностям превышения Р(%) строится эмпирическая кривая распределения ежегодных вероятностей превышения.

Эмпирическая кривая распределения строитсяна клетчаткахвероятностей (рис. 2.3.1), где по оси ординат откладывают расходы воды, а по оси абсцисс - соответствующие им значения вероятности превышения Р(%).

Строится также эмпирическая кривая распределения в модульных коэффициентах, где вместо расходов на оси ординат откладывают модульные коэффициенты k (рис. 2.3.2).

Полученные точки соединяют плавной усредняющей кривой. Такая кривая распределения называется эмпирической.

Задачу предлагается решить двумя способами: аналитическим и графоаналитическим и сравнить полученные результаты.

Решение задачи аналитическим способом с использованием эмпирической кривой распределения.

На основании данных расчетов табл. 2.3.2 вычисляют характеристики кривой обеспеченности:

среднее многолетнее значение максимального расхода определяют как среднеарифметическое значение максимальных расходов воды по формуле 3.2;

коэффициент вариации (изменчивости расходов относительно их среднеарифметического значения) С определяют через безразмерные модульные коэффициенты по формуле 3.3;

коэффициент асимметрии C_s, характеризующий несимметричность положения значений в ряду относительно их среднего значения, определяется по формуле 3.4.

Определяют расчетный расход заданной вероятности превышения (обеспеченности) по формуле

-р% ^=kp%Vmax

где k_p% - ордината кривой (рис. 2.3.2) для заданной вероятности превышенияP=0,33%.

Решение задачи графоаналитическим методом с использованием биномиального распределения.

Используя эмпирическую кривую распределения ежегодных вероятностей превышения максимальных расходов воды (рис. 2.3.1) определяют расходы воды обеспеченностью 5, 50 и 95 %.

Вычисляют коэффициент скошенности по формуле у

По коэффициенту скошенности, используя данные таблицы в приложении 2.3, находят коэффициент асимметрии максимальных расходов C_s и соответствующие ему нормированные отклонения ординат кривой обеспеченности от среднего значения при обеспеченностях 5, 50 и 95 %, т. е. Ф₅, Ф₅₀ и Ф₉₅, а также разность Ф₅- Ф₉₅ .

Вычисляют среднее квадратичное отклонение максимальных расходов воды по формуле

Зная величины определяют коэффициент вариации максимальных

расходов воды

По найденным параметрам теоретической кривой обеспеченности ^QC_v и C_s определяют расчетные максимальные расходы воды по выражению

где k_p - ордината теоретической кривой обеспеченности, определяемая по формуле

к =ФС +1 Р

Здесь Ф - нормированное отклонения ординат кривой обеспеченности от среднего значения при заданной обеспеченности, определяемое по таблице в приложении 2.3.

Для рассматриваемого случая

Полученное значение максимального расхода сравнивают с полученными результатами расчета по первому способу.

Рис. 2.3.1. Эмпирическая кривая распределения ежегодных вероятностей превышения

Рис. 2.3.2. Эмпирическая кривая распределения в модульных коэффициентах