Задача с3

Дві однорідні прямокутні пластини, з’єднані під прямим кутом (схеми С3.0 – С3.5, С3.9), три однорідні стрижні (С3.6), чи два однорідні диски на невагомому валу (С3.7, С3.8) навантажені парою сил з моментом М, силами , і силами ваги , знаходяться в рівновазі. Знайти реакції опор. Опорні стрижні вважати невагомими. Дані взяти з таблиці С3.

Вказівка. Задача С3 – на рівновагу тіла під дією довільної просторової системи сил. При обчисленні моментів сил , раціонально розкласти сили на складові за напрямками координатних осей. При цьому слід мати на увазі залежність між напрямними косинусами

,

де - кут між напрямом сили і віссю , - кут між напрямом сили і віссю , - кут між напрямом сили і віссю .

Для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб задовольнялися 6 рівнянь ([4] стор. 16, формули 8.2, 8.3). Момент сили відносно осі можна обчислити за формулами 4.9 [4], або за робочим правилом (стор. 12, формула 4.10 [4]). Звернути особливу увагу на випадки, коли момент сили відносно осі дорівнює нулю (п.4.10 [4]).

Приклад С3. Дано:  кН, , , точка прикладання D;  кН, , , точка прикладання Е;  кН,  кН,  кНм.

Визначити опорні реакції: .

Таблиця С3

№ рядка									Сили ваги (плити, стрижня, диска)		Момент пари сил, кН·м
	точка прикладання			модуль сили, кН	точка прикладання			модуль сили, кН
									, кН	, кН
1	С	60	60	5	Н	30	90	8	4	2	3
2	H	70	50	6	Е	60	30	9	5	3	2
3	Е	80	40	7	К	45	45	10	6	4	10
4	К	90	30	8	E	60	60	11	7	5	8
5	Н	100	20	9	Е	90	30	12	8	6	6
6	С	120	30	10	К	60	30	13	9	7	4
7	D	130	40	11	K	45	60	14	10	8	5
8	Е	135	45	12	H	45	45	15	11	9	7
9	К	150	60	13	E	30	60	16	12	10	9
0	Н	60	45	14	D	60	90	17	13	11	11

Рис. С3

Рис. С3.1

Розв’язання.

1. Розглядаємо рівновагу вала з дисками.

2. Вибираємо систему координат .

3. Розкладаємо сили за напрямками координатних осей. Попередньо визначимо кут з формули (1)

(1)

Проекції сили на осі координат дорівнюють

кН,

кН,

кН.

Оскільки з формули (1)

,

то проекції сили на осі координат дорівнюють

кН,

кН,

.

4. Відкидаємо в’язі і замінимо їх реакціями (див. табл. 1.1 [4]). В точці А підп’ятник – складові реакції . В точці В підшипник – складові . В точці С – невагомий стрижень  .

5. На тіло діє довільна просторова система сил, отже можна скласти шість рівнянь рівноваги. Невідомих також 6. Таким чином система статично визначна.

6. Складаємо рівняння рівноваги

, (2)

, (3)

Рис. С3.2

, (4)

(5)

(6)

(7)

7. Підставляємо числові значення в рівняння (2)  (7)

, (8)

, (9)

, (10)

(11)

(12)

(13)

Провівши необхідні перетворення, одержимо

з рівняння (9) кН,

з рівняння (12) кН,

з рівняння (13) кН,

з рівняння (11) кН,

з рівняння (10) кН,

з рівняння (8) кН.

Модулі реакцій

Знак “мінус” свідчить про те, що реакції напрямлені протилежно, показаним на рис. С3.2.

Відповідь: , , .

Розглянемо використання прикладного математичного пакета серії Mathcad. Для розв’язку задачі скористаємось операторами Given та Find.

1. Задаємо вихідні дані та обнуляємо значення шуканих реакцій. Розмірності сил задано в кН, моменту – в кНм, величини кутів , ,  і  – в рад.

G₁:=4.6 F₁:=9.5 ₁:=65180 ₂:=40180 :=30180

G₂:=2.6 F₂:=14.4 ₁:=55180 ₂:=50180

M:=15 ₁:=0.793 ₂:=2

R_Ax:=0 R_Ay:=0 R_Az:=0 R_Bx:=0 R_Bz:=0

R_C:=0 R_A:=0 R_B:=0

2. Задаємо формули для обчислення проекцій сил на осі та виводимо результати на друк

F_1x:=F₁cos(₁) F_1x=4.015 F_2x:=F₂cos(₂) F_2x=11.031

F_1y:=F₁cos(₁) F_1y=5.449 F_2y:=F₂cos(₂) F_2y=9.256

F_1z:=F₁cos(₁) F_1z=6.666 F_2z:=F₂cos(₂) F_2z=0

3. Записуємо систему рівнянь рівноваги.

Given

-G₁0.8 + F_1z0.8 – F_1y0.5 – R_C0.8 – G₂1.5 + F_2y0.3×sin() + + F_2z×1.5 + R_Bz1.9 = 0

M – R_C0.5 – F_1x×0.5 + F_2x×0.3×sin(d) + F_2z×0.3×cos(d) = 0

– F_1x×0.8 – F_2x×1.5 + F_2y×0.3×cos(d) – R_Bx×1.9 = 0

F_1x + F_2x + R_Ax + R_Bx = 0

R_Ay + F_1y + F_2y = 0

R_Az + R_Bz – G₁ – G₂ – R_C + F_1z + F_2z = 0

4. Розв’язок системи рівнянь –

D:=Find(R_Ax, R_Ay, R_Az, R_C, R_Bx, R_Bz)

5. Визначимо рівнодійні реакцій в опорах А та В –

Величини опорних реакцій, отриманих за допомогою Mathcad, збігаються з результатами аналітичного розв’язку.