Задача с4

Визначити мінімальне (схеми С4.0 – С4.4, С4.7, С4.9) і максимальне (С4.5, С4.6, С4.8) значення сили і реакції опор системи, яка знаходиться в спокої. Схеми варіантів представлені на рис. С4, а необхідні дані для розрахунків – у таблиці С4. У варіантах С4.0 – С4.4 тертя враховувати тільки між гальмівною колодкою і барабаном. У варіантах С4.5 – С4.9 врахувати тертя в двох опорних точках тіла вагою .

Вказівка. Задача С4 на рівновагу системи тіл з врахуванням сил тертя (тертя спокою). Необхідно спочатку правильно визначити напрям можливого руху тіл системи, а потім показати сили тертя, які повинні заважати цьому рухові. Сила тертя і нормальна реакція пов’язані між собою законом Амонтона - Кулона – , тобто розглядається випадок граничної рівноваги. В схемах С4.5, С4.6, С4.8 необхідно визначити максимальне значення сили Р, тобто таке значення при перевищенні якого тіло почне рухатися в напрямку дії сили .

Таблиця С4

Номер рядка	, кН	, кН	Розміри, м				Коефіцієнт тертя
1	1,0	12	0,4	0,18	0,04	25	0,25
2	1,2	14	0,42	0,2	0,05	30	0,28
3	1,3	16	0,45	0,22	0,06	35	0,29
4	1,4	18	0,46	0,24	0,07	40	0,3
5	1,6	20	0,48	0,25	0,03	38	0,32
6	1,8	22	0,5	0,26	0,035	36	0,34
7	1,9	24	0,49	0,25	0,038	34	0,33
8	2,0	26	0,47	0,23	0,02	35	0,31
9	2,1	27	0,43	0,19	0,025	33	0,27
10	2,2	28	0,41	0,17	0,028	31	0,24

Рис. С4

Рис. С4.1

Приклад С4.1. Визначити мінімальне значення сили і опорні реакції в точках і (рис. С4.1).

Дано:  кН;  кН;  м;  м;  м; ; .

Визначити: ; ; .

Розв’язання.

1. Розглянемо рівновагу блока (рис. С4.2). Оскільки силами тертя на осі блока нехтуємо, то

, (1)

де – натяг троса.

Рис. С4.2 Рис. С4.3

2. Розглядаємо рівновагу барабана (рис. С4.3). Під дією сил барабан буде обертатись проти годинникової стрілки. Швидкість точки контакту барабана і гальмівної колодки буде направлена так, як показано на рис. С4.3. Отже сила тертя повинна бути напрямлена в сторону, протилежну швидкості.

В граничному стані барабан буде знаходитись в рівновазі. Складемо рівняння рівноваги у вигляді

,

. (2)

Звідки, з врахуванням (1), –

.

На основі закону Амонтона-Кулона

.

Складаємо рівняння рівноваги

, (3)

. (4)

З рівняння (3)

.

З рівняння (4)

.

Рис. С4.4

3. Розглядаємо рівновагу балки АВ (рис. С4.4). Згідно з III законом Ньютона

Складаємо рівняння рівноваги:

. (5)

Звідки, підставивши числові значення, отримаємо

.

На основі рівнянь рівноваги

(6)

, (7)

знаходимо

,

.

Рис. С4.5

4. Для перевірки правильності визначення опорних реакцій розглядаємо рівновагу всієї системи (рис. С4.5).

Увага!

1. Коли розглядаємо рівновагу всієї системи, сили , , та будуть внутрішніми, тому на схемі їх не показуємо і в рівняння рівноваги вони не ввійдуть.

2. Оскільки реакція блока не відома, то його відкидаємо і дію вантажу і блока замінюємо силою .

Складаємо рівняння рівноваги:

Опорні реакції обчислені вірно. Обчислюємо модулі реакцій і :

,

 кН.

Відповідь:  кН;  кН;  кН.

Розглянемо використання прикладного математичного пакета серії Mathcad. Для розв’язку задачі скористаємось операторами Given та Find.

1. Задаємо вихідні дані та обнуляємо значення шуканих реакцій. Розмірності сил задано в кН, моменту – в кНм, величина кута  – в рад, відстані – в м.

Q:=16 a:=0.4 e:=0.06 f:=0.38

G:=3.2 b:=0.6 R:=1 :=36180

P:=0 T:=Q F_f:=0 N:=O R_Ax:=0 R_Ay:=0

R_A:=0 R_O:=0 R_Ox:=0 R_Oy:=0

2. Записуємо систему рівнянь рівноваги.

Given

F_f – fN = 0

QR + T1.2R – F_f×1.6×R = 0

R_Ox + F_f×sin() – N×cos() – T×sin() = 0

R_Oy – G – Q + T×cos() – F_f×cos() – N×sin() = 0

P×sin()×(a + b) – N×b – F_f×e = 0

R_Ax + N×cos() – F_f×sin() – P×cos(/2 – 2×) = 0

R_Ay + N×sin() + F_f×cos() + P×sin(/2 – 2×) = 0

3. Розв’язок системи рівнянь –

D:=Find(F_f, N, R_Ax, R_Ay, P, R_Ox, R_Oy)

4. Перевірка правильності визначення опорних реакцій.

D₀₅ – Tsin() + D₀₂ – D₀₄sin(2)  = –5.684  10^-14

D₀₆ + Tcos() – Q – G + D₀₃ + D₀₄cos(2)  = 2.842  10^-14

5. Визначимо рівнодійні реакцій в опорах А та O –

Величини опорних реакцій, отриманих за допомогою Mathcad, збігаються з результатами аналітичного розв’язку.

ДОДАТКИ

Додаток А

№/№	Назва опори	Тип опори та її позначення	Переміщення, які виключає опора	Реакції опори
1	Жорстке (пов-не) защемлен-ня в площині		Переміщення вдовж і поворот нав-коло точки А
2	Шарнірно-нерухома опора (циліндричний шарнір)		Переміщення вздовж	Зауваження: реакції можна розкласти за двома напрямками, не обов’язково взаємно перпенди-кулярними
3	Шарнірно-рухома опора (гладка поверх-ня, каткова опора)		Переміщення вздовж (перпендику-лярно поверхні кочення, по стрижню)	Зауваження: завжди напрямлена перпендикулярно до поверхні кочення, вздовж стрижня. Вона може бути напрямлена як догори, так і донизу
4	Напівзащем-лена опора		Переміщення вздовж і поворот нав-коло точки А
5	Напівзащем-лена опора		Переміщення вздовж і поворот нав-коло точки А

Продовження додатку А

№/№	Назва опори	Тип опори і її позначення	Переміщення, які виключає опора	Реакції опори
6	Часткове защемлення		Поворот нав-коло точки А
7	Ковзна муфта		Взаємне переміщення стрижнів по вертикалі і взаємний поворот

13