Погрешность косвенного измерения
Если X – величина, измеряемая косвенно, то результат её измерения x – это функция одного или нескольких прямых измерений. Рассмотрим каждый из этих вариантов.
А) x – функция одной переменной.
Пусть a – результат прямого измерения величины A, погрешность этого результата известна и равна (a). Пусть далее x = x(a), и надо найти (x). Считая, что погрешности (a) и (x) малы, можно воспользоваться формулой, связывающей дифференциалы da и dx:
. (7.1)
Знак модуля | | здесь поставлен потому, что в отличие от дифференциалов погрешности всегда положительны.
Примеры использования формулы (7.1) сведены в таблицу 7.1.
Таблица 7.1
Погрешности некоторых косвенных измерений
Вид функции x(a) |
Абсолютная погрешность (x) |
Относительная погрешность (x) |
x = a |
(x) = ||(a) |
(x) = (a) |
x = a |
(x) = 2|a|(a) |
(x) = 2(a) |
x = a |
(x) = 3 a2(a) |
(x) = 3(a) |
x = an |
(x) = |n an-1|(a) |
(x) = |n|(a) |
x = lna |
|
|
x = ea |
|
|
Б) x – функция нескольких переменных.
Пусть x = x(a, b, c, ...), где a, b, c, ... – результат прямых измерений величин A, B, C, ... соответственно. Погрешности этих результатов известны и равны (a), (b), (c), ... . Найти надо (x). Общее правило, по которому решается эта задача, выражается следующей формулой:
, (7.2)
где
,
,
и т.д. – это так называемые частные
погрешности, которые определяются
формулами, аналогичными (7.1):
. (7.3)
Примеры использования формул (7.2) и (7.3) сведены в таблицу 7.2.
Таблица 7.2
Погрешности некоторых косвенных измерений
Вид функции x(a,b,c,...) |
Абсолютная погрешность (x) |
Относительная погрешность (x) |
x = a b |
|
|
x = a b c |
|
|
x = ab,
|
(x) = x(x) |
|
x = abc,
|
(x) = x(x) |
|
,
Замечание. Приведённые в этом пункте формулы справедливы для всех типов погрешностей – для приборных, случайных и полных. Чаще всего их используют для полных погрешностей – сначала находят приборные, случайные и полные погрешности всех прямых измерений, а затем – полную погрешность косвенного измерения.
Округление погрешностей и результатов измерений. Запись результата измерений
Термин “оценка погрешности” означает, что нет смысла высчитывать погрешность с большой точностью. Следует определить лишь первую значащую цифру, так как знание погрешности нужно, главным образом, для того, чтобы определить тот предельный разряд K результата измерения, в котором содержится ошибка. Цифры в разрядах, старших K, являются достоверными, а в разрядах, младших K, – недостоверными. Разряд K занимает пограничное положение: цифра в этом разряде частично достоверна, её неопределённость как раз и показывает первая значащая цифра погрешности.
Из этого вытекает следующее правило округления.
Погрешность нужно округлять до единственной значащей цифры, а результат измерения – до предельного разряда K, равного тому разряду, в котором находится единственная значащая цифра погрешности.
Пример. Проведено косвенное измерение давление газа в электронной лампе. Результат измерения: p = 35,27 Па, оценка погрешности измерения дала: (p) = 2,15 Па. Эти данные следует округлить так: (p) = 2 Па, p = 35 Па. Предельный разряд K в этом примере – это младший разряд целой части, то есть разряд единиц.
Результат измерения принято записывать вместе с его гарантией, то есть вместе с погрешностью. Образец формы записи следующий:
p = (35 2) Па, (p) = 6%.
Другие примеры записи результатов измерений:
I = (17,3 0,3) мА, (I) = 2%.
v = (848,7 0,5)10 м/с, (v) = 0,06%.