59. Понятие о передаточных функциях.

Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления и регулирования. Передаточная функция является своего рода математической моделью САР, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.

Передаточная функция представляет собой отношение изображе­ние по Лапласу выходной величины Y ( S ) к изображению входной величины Х ( S ), т.е.

Учитывая условия для линейных систем уравнение (2.3) запишем в следующем виде:

(2.8)

Поскольку для линейных систем можно применить принцип наложения, то будет справедливым выделить следующие два случая:

- сигнал Z ( S ) = 0, тогда

- сигнал X ( S ) = 0, тогда

Тогда, для любой САР, имеющей входы по управлению и по возмущению, можно определить две передаточные функции:

(2.9)

(2.10)

Уравнение (2.9) представляет передаточную функцию по управлению, а выражение (2.10) представляет передаточную функцию по возмущению.

Как известно, собственный оператор Q ( p ) может быть записан в следующем виде.

Соответственно оператор управляющего воздействия R₁ ( р ) и опе­ратор возмущающего воздействия R₂ ( p ) выразим следующим образом:

Следовательно, передаточные функции по управлению и по возмущению представляют собой отношения следующих полиномов:

Для физической реализуемости системы необходимо выполнить условие n>m и n>k.

Передаточные функции содержат особые точки на комплексной плоскости -нули и полюса. Полюса - это те значения S, при которых передаточная функция превращается в бесконечность. Для определения полюсов необходимо собственный оператор (знаменатель передаточной функции) приравнять к нулю и произвести решение алгебраического уравнения относительно S. Нули - это те значения S, при которых передаточная функция равна нулю. Для нахождения нулей числитель передаточной функции приравнивается к нулю и полученное алгебраическое уравнение решается относительно S. В связи о этим передаточная функция может быть представлена как отношение произведений элементарных сомножителей:

где _i - полюса передаточной функции;

_k - нули передаточной функции.

Если задана структура САР, то можно определить передаточную функцию относительно любых двух точек структуры. При этом необходимо использовать существующие правила и метода структурных преобразований.

60.Понятие самовыравнивания объекта управления. Характеристики устойчивых и неустойчивых объектов. Самовыравнивание - состояние объекта может быть нарушено в результате изменения материальных или энергетических потоков (притока или стока), т. е. нанесением на объект возмущающих воздействий. При этом выходные величины будут увеличиваться или уменьшаться в зависимости от того, что окажется больше — приход или расход. По способности восстанавливать равновесное состояние после нанесения на объект возмущающего воздействия объекты делят на нейтральные, устойчивые, неустойчивые.

Способность объекта прийти после нанесения возмущающего воздействия в новое установившееся состояние без вмешательства управляющего устройства называется самовыравниванием(саморегулированием). Объекты с самовыравниванием называют статическими, или устойчивыми. В объектах с самовыравниванием ступенчатое входное воздействие изменяет выходную величину со скоростью, постепенно уменьшающейся до нуля. Самовыравнивание является результатом действия внутренней отрицательной обратной связи в объекте (результатом влияния выходной величины объекта на приток или сток вещества или энергии). Чем больше величина самовыравнивания, тем меньше отклоняется управляемый параметр от состояния равновесия, имевшего место до возмущающего воздействия. Самовыравнивание способствует стабилизации управляемой величины в объекте и, таким образом, облегчает работу управляющего устройства.

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

y(t) = y_вын(t) + y_св(t). 

Здесь yсв(t) - общее решение однородного дифференциального уравнения, то есть уравнения с нулевой правой частью: 

a_oy⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_(n-1)y’ + a_(n)y = 0. 

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. y_вын(t) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

М ожно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей y_вын = y(t    ). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P_osin( t +  ), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть y_вын = y_maxsin( t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t    . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих:  , где p_i корни характеристического уравнения D(p) = a₀p_n + a₁p_n-1 + a₂p_n-2 + ... + a_n = 0. Корни могут быть либо вещественными p_i = a_i, либо попарно комплексно сопряженными p_i = a_i ± j i. Постоянные интегрирования А_i определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t    .

К аждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая y_св(t)_i, каждому положительному - экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует y_св(t)_i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой  _i, при положительной вещественной части - расходящиеся колебания, при нулевой - незатухающие (рис.64).

 

 

Так как после снятия возмущения y_вын(t) = 0, то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей y_св(t). zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

И сходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми, с положительными - правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где a_n = 0), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).

 Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = a_opⁿ + a₁p^n-1 + a₂p^n-2 + ... + a_n = a_o(p-p₁)(p-p₂)...(p-p_n) = 0, 

где p₁, p₂, ..., p_n - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать как a_i = -|a_i| < 0. Подставим их в уравнение:

 

a₀ (p + |a₁|) (p + |a₂| - j 2) (p + |a₂| + j 2) ... = 0. 

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a₀ (p + |a₁|) ((p + |a₂|)2 + ( 2)2) ... = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 + a₂ p^n-2 + ... + a_n = 0. 

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a₀,a₁,...,a_n не будет отрицательным. Поэтомунеобходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a₀ > 0, a₁ > 0, ... , a_n > 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a₀ > 0. В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические  критерии Рауса и Гурвица.