Сравнение бесконечно малых

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же   величины   и   (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если  , то   — бесконечно малая высшего порядка малости, чем  . Обозначают   или β≺α.

• Если  , то   — бесконечно малая низшего порядка малости, чем  . Соответственно   или α≺β.

• Если   (предел конечен и не равен 0), то   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как α≍β или как одновременное выполнение отношений   и  . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

• Если   (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина   имеет  -й порядок малости относительно бесконечно малой  .

 Эквивалентные бесконечно малые

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если    то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x₀); это обозначается так: α~ß.

Например, sinx~х при х→0, т.к    при x→0, т. к. 

Если  , то бесконечно малые или бесконечно большие величины   и   называются эквивалентными (обозначается как  ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых (бесконечно больших) величин одного порядка малости.

При   справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

• 

• 

• 

• 

• , где  ;

• 

• , где  ;

• 

• 

• , поэтому используют выражение:

, где  .

Теорема

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых или бесконечно больших величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов

Примеры использования

• Найти 

Заменяя   эквивалентной величиной  , получаем

• Найти 

Так как   при   получим

• Вычислить  .

Используя формулу:  , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили:  , таким образом ошибка составила 0,005 (менее 1 %), то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.

ТЕОРЕМА . Бесконечно малая последовательность ограничена.

► Пусть {х_п} — бесконечно малая последовательность. Тогда, например, неравенству \х_п\ > 1 удовлетворяет лишь конечное множество ее членов. Сумму модулей таких членов обозначим через с₀. При этом считаем, что с₀ = 0, если таких членов вообще нет. Очевидно, тогда для каждого члена х_п имеем неравенство |х_й| < с = с₀ + 1. Следовательно, бесконечно малая последователь­ность {х_п} ограничена. <

ТЕОРЕМА . Если {х_п} — бесконечно большая последователь­ность и х_п 5^й 0, то {1/х„} — бесконечно малая последователь­ность, и наоборот, если {х_п} — бесконечно малая последова­тельность и х_п ^ 0, то {1/х„} — бесконечно большая последо­вательность.

► Ограничимся рассмотрением только прямого утверждения. В этом случае при любом е > 0 неравенство |1/х„| > е равносильно неравенству |х„| < с = 1/е, которому, в свою очередь, удовлетво­ряет лишь конечное множество членов, поскольку {х_п} — беско­нечно большая последовательность. Это значит, что {1/х„} — бес­конечно малая последовательность. -4

ТЕОРЕМА . Если {х_п} — бесконечно малая последователь­ность, то {\х_п\} — бесконечно малая последовательность, и наоборот.

2. Сумма (разность) двух бесконечно малых последователь­ностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 1: произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая. Теорема 2: частное от деления ограниченной функции f(x) на бесконечно большую g(x), т.е. f(x)/g(x), есть бесконечно малая. Теорема 3: частное от деления функции f(x), модуль которой ограничен снизу положительным числом, на бесконечно малую есть бесконечно большая.