Производная постоянной.

При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производной функции в точке. Возьмем  , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции  . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при  :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение  , которое не является неопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции   равна нулю на всей области определения.

Пример.

Найти производные следующих постоянных функций 

Решение.

В первом случае мы имеем производную натурального числа 3, во втором случае нам приходится брать производную от параметра а, который может быть любым действительным числом, в третьем - производную иррационального числа  , в четвертом случае имеем производную нуля (ноль является целым числом), в пятом – производную рациональной дроби  .

Ответ:

производные всех этих функций равны нулю для любого действительного x (на всей области определения)

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид  , где показатель степени p– любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

При доказательстве формулы для любого действительного p, отличного от нуля, воспользуемся логарифмической производной (не путайте с производной логарифмической функции). Для понимания процесса, рекомендуем сначала ознакомиться с производной логарифмической функции, а также разобраться с разделами теории производная неявно заданной функции и производная сложной функции.

Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x.

Сначала будем полагать  . В этом случае  . Выполним логарифмирование равенства   по основанию e и применим свойство логарифма:

Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:

Осталось провести доказательство для отрицательных x.

Когда показатель p представляет собой четное число, то степенная функция определена и при , причем является четной (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). То есть,  . В этом случае   и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.

Когда показатель p представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при  , причем является нечетной. То есть,  . В этом случае   и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы   в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции:

Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, для отрицательных x справедливо равенство  .

Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p.

Пример.

Найти производные функций  .

Решение.

Первую и третью функцию приведем к табличному виду  , используя свойства степени, и применим формулу производной степенной функции: