1. Рассчитать среднюю наработку на отказ

В задании дана наработка каждой машины между ее отказами. Наработка между отказами является случайной величиной. Для описания случайной величины рассчитываются статистические характеристики, и определяется вид закона ее распределения.

Статистическими характеристиками являются:

- среднее значение случайной величины Х

- дисперсия Д

- Коэффициент вариации V.

При расчете выполняется таблица по следующей форме

Таблица-1 Сводные данные расчетных значений статистических характеристик.

№ интервала	Границы интервала	Середина интервала	Частота в интервале					Частость Рi
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Последовательность расчетов статистических характеристик:

Составить ряд распределения

Для упрощения расчета численных значений случайной величины разбиваются на несколько интервалов. При объеме выборки около 100 единиц рекомендуется назначать 6-10 интервалов. Ширина интервала равна

ΔX =W/к

где W = Х_max -Х_min – размах выборки;

Х_max и Х_min – максимальное и минимальное значения случайной величины в выборке;

к – число интервалов.

В колонку 2 табл.1 записываются границы интервалов в порядке возрастания случайной величины. Т.е составляется ряд распределения.

1.2 Рассчитать среднее значение выборки х

Для этого в каждом интервале определяется среднее значение интервала. подсчитывается частота п_i попадания случайных величин в каждый интервал. При этом, если значение попадает вне границу двух интервалов, его нужно отнести к левому интервалу.

Среднее значение выборки определяется по формуле

где Х_{ср I} – середина I-го интервала;

п_I – число случаев в I-том интервале;

- сумма значений по вертикали в колонке 5;

N – объем выборки;

к – число интервалов.

Среднее число выборки и является средней наработкой на отказ Т_о.

3. Определить дисперсию выборки Д и среднее квадратическое

отклонение σ.

Дисперсия случайной величины характеризует ее рассеивание около математического ожидания. Для выборки объемом N дисперсия определяется по формуле

(2)

В соответствии с этой формулой для каждого интервала рассчитывается разность (Хсрi; - X) и заполняются последовательно колонки б, 7 и 8 табл. I. Чис­литель формулы 2 является суммой всех значений в колонке 8.

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, σ = (3)

Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерно­стью случайной величины.

V =σ/Х

4. Рассчитать коэффициент вариации. Числовое значение коэффициента вариации

(4)

II. Определить закон распределения наработки между отказами.

Закон распределения характеризует связь между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Случайные величины, ис­пользуемые для оценки показателей надежности, наиболее часто подчиняются нормальному, экспоненциальному или распределению Вейбулла.

1. Построить гистограмму эмпирического (основанного на опыте) рас­пределения и выдвинуть статистическую, гипотезу.

Гистограмма распределения строится по результатам расчета статистической вероятности. Статистической вероятностью является частность

Р_i = п_i / N (5)

где п_i - число случаев в i-ом интервале;

N - объем выборки.

Значение Р необходимо записать в колонку 9 табл. 1.

При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы (берутся из табл. 1) и на каждом интервале строятся прямоугольники, высота которых равна Р. Масштаб по оси ординат выбирается в зависимости и от мак­симального значения Р.

По виду гистограммы необходимо выдвинуть статистическую гипотезу, т.е. предварительно определить закон распределения случайной величины. При этом учесть, что если коэффициент вариации V<(0,33, то наиболее вероятно нормальное распределение; если V = 0,33-2,00, то может быть распределение Вейбулла; если V=1,0, вероятным является экспоненциальное распределение.

2. Проверить статистическую гипотезу.

Правдоподобие гипотезы оценивается критериями согласия. С помощью критериев определяется с какой вероятностью эмпирическое распределение согласуется с теоретическим, т.е. оценивается сходимостью по вероятности.

Наиболее часто применяется критерий Пирсона, который рассчитывается по формуле

(6)

где к. ni, N, - см. уравнение I и табл. I;

Pi- теоретическая вероятность в каждом интервале.

Предварительный анализ информации показывает, что распределите между отказами машин во всех вариантах задания близко к экспонентному. В связи с этим в данной работе предлагается оценить сходимость с экспоненци­альным законом.

Таблица 2 Расчетные данные для оценки сходимости

распределения между отказами машин.

№ п/п	ха	хб	λ· ха	λ· хб	е- λ· ха	е- λ· хб	Рi	N· Рi	ni- N· Рi	(ni- N· Рi)2	(ni- N· Рi)2 N· Рi
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Последовательность расчетов

1. Начертить таблицу по форме табл.2.

2. Заполнить колонки 1, 2,3. взяв данные из таб. 1.

3. Рассчитать показатель, экспоненты

4. Для каждого интервала рассчитать значения Х-к_а и X-xj,колонки 4 и 5 табл.2).

5. По приложению Х ² значений функции ехр (-λ*х) найти значение в ­ каждом интервале (колонки 6 и 7).

6. Рассчитать теоретическую вероятность Pi в каждом интервале (колон- -ки 8).

7. Определить значение N-Pi для колонки 9. Произведение N*Pi является теоретическим числом случаев попадания изучаемой величины в i-тый интер­вал.

8. Выполнить последующие расчеты и заполнить колонки 10, 11 и 12. Разность (п_i- N*Pi) характеризует между опытным и теоретическим числом случаев в каждом интервале.

9. Определить значение критерия Х ², суммируя результаты по всем ин­тервалам колонки 12.

10. По критерию Х ² и числу степеней свободы

Число степеней свободы r=k – S

Где к - число интервалов (табл.2);

S - число наложенных связей;

S=3 - для двухпараметрического распределения;

S=2 - для однопараметрического расположения.

(Экспоненциальное распределение является однопараметрическим).

Вероятность Р находиться по приложению 3 следующим образом: в строке, соответствующей полученному значению г; найти число, близкое к расчетному Х ². В этой колонке (вверху) и будет находиться значение вероятности Р.

Гипотеза считается, правдоподобной, если Р ≥ 0.1. В заключении расчета запись, с какой вероятностью подтверждается выбранная гипотеза о распределении наработки между отказами.