7. Использование производной

Доказать, что sin x <x<tgx в промежутке (0; ).

Доказательство: Используем достаточные условия возрастания (убывания) функции.

Сначала докажем . Для этого рассмотрим непрерывную функцию на промежутке (0; ). значит она возрастает на этом промежутке. Тогда из того, что х>0 следует, что f(x)>F(0), или x–sin x>0, т.е. . (1) Теперь рассмотрим непрерывную функцию g(x)= tg x- x на этом же промежутке. g'(x)= 1/COS²x -1>0? Значит функция g(x) возрастает на этом промежутке, из того что x>0 cледует g(x)>g(0) т.е. tgx – x>0 и x<tgx. (2). Из (1) и (2) следует sin x <x<tgx.

25 Задачи на комбинации многогранников и круглых тел.

1. Комбинация шара с призмой.

Шар, вписанный в прямую призму.

Теорема Шар можно вписать в прямую призму в том и только в том случае, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности.

Шар, описанный около призмы.

Теорема 2. Шар можно описать около призмы в том и только в том случае, если призма прямая и около ее основания можно описать окружность.

2. Комбинация шара с пирамидой.

Шар, описанный около пирамиды.

Теорема 3.Около пирамиды можно описать шар в том и только в том случае, если около ее основания можно описать окружность.

2. Шар, вписанный в пирамиду.

Теорема 4 Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар.

3. Комбинация шара с круглыми телами(цилиндром, конусом).

Теорема 7. Около цилиндра, усеченного конуса (прямых круговых), конуса можно описать шар.

Теорема 8. В цилиндр (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если цилиндр равносторонний.

Теорема 9. В любой конус (прямой круговой) можно вписать шар.

Теорема 10. В усеченный конус (прямой круговой) можно вписать шар в том и только в том случае, если его образующая равна сумме радиусов оснований.

4. Комбинация призмы и цилиндра.

Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основаниями являются многоугольники, вписанные в окружности основания цилиндра. В этом случае цилиндр называют описанным около призмы.

Цилиндр называется вписанным в призму, если окружности его основания являются вписанными в многоугол. Оснований призмы. В этом случае призму называют описанной около цилиндра.

Цилиндр может быть вписан только в прямую призму и описан около прямой призмы. Высота цилиндра совпадает с высотой призмы.

5. Комбинация конуса и призмы. Конус называется вписанным в призму, если его вершина лежит не верхнем основании призмы, а его основание есть круг, вписанный в многоуг. нижнего основания призмы.

Конус называется описанным около призмы, если все вершины верхнего основания призмы лежат на боковой поверхности конуса, а нижнее основание призмы лежит в плоскости основания конуса.

6. Комбинация пирамиды и цилиндра. Пирамида называется вписанной в цилиндр, если ее основание лежит в плоскости одного из оснований цилиндра и является многоугольником, вписанным в окружность основания цилиндра, а вершина пирамиды находится на др. основании цилиндра.

Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если окружность одного из оснований цилиндра касается всех боковых граней пирамиды, а др. основание цилиндра лежит в плоскости основания пирамиды.

7. комбинация пирамиды и конуса. Пирамида называется вписанной в конус, если ее вершина совпадает с вершиной конуса, а основанием пирамиды является многоуг., вписанный в окружность основания конуса. В этом случае конус – описан около пирамиды. Заметим, что боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса и одинаково наклонены к основанию.

Конус называется вписанным в пирамиду, если его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а окружность основания является окружностью, вписанной в многоуг. основания пирамиды. В этом случае пирамида называется описанной около конуса. Плоскости боковых граний описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса. Они одинаково наклонены к основанию пирамиды.

В правильную пирамиду можно вписать конус и описать около нее конус.

8. Комбинация цилиндра и конуса. Цилиндр называется вписанным в конус, если окружность одного из его оснований лежит на поверхности конуса, а др. основание расположено в плоскости основания конуса. Конус называется вписанным в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса лежит в центре другого основания цилиндра.

Решение задач

Задача. В цилиндр помещен конус так, что основание конуса совпадает с нижним основанием цилиндра, а вершина конуса совпадает с центром верхнего основания цилиндра. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . Найти объем цилиндра, если площадь полной поверхности конуса равна .

Решение. По условию – , где Из треуг. : . Таким образом . Откуда . Следовательно

Ответ: