13. Вопрос

На шк-ых олим-ах: уравн-я решаемые в цел. (нат.) числах; уравн-е содер-ее целую и дробную части; смешанные уравн-я; уравн-я содерж-е модуль; нестандартные уравн-я.

Методы решения уравнений:

1. С пом. формул сокращ-го умножения;

2. Теорема Ферма (при n>2 уравнение не имеет нат. решений);

3. Метод бесконечного спуска:

1. Надо док-ть, что какое-то урав-е не имеет нат. решений;

2. Предположить, что у данного урав-я есть нат. решение;

3. Из этого предположения можно вывести, что у уравнения ещё есть меньшее нат. решение;

4. Из существования этого меньшего нат. решения делается вывод о существовании ещё меньшего нат. решения;

5. Т.к. нат. числа не могут неограниченно уменьшатся, то следовательно предположение неверно и реш. данного уравнения в нат числах не существует.

4. С пом. сравнений,

5. Дискриминантный метод;

6. С помощью цепных дробей;

7. Алгоритм Евклида;

8. Геометрический метод;

9. Функциональные методы;

10. Метод перебора, свой-й чисел.

Иррац-ое уравнение – уравн-е, содержащее переменную под знаком радикала.

Методы решения иррациональных уравнений:

1. Использ-е разлож-я на множители (при возведении в чёт. степень левую и правую части иррационального уравн-я есть вероятность появления лишнего корня, поэтому необходимо делать проверку!!!);

2. Введение новой переменной;

3. Равносильные преобразования;

4. Умножение на сопряжённый радикал;

5. Тригонометрические подстановки;

6. Метод проверки (ОДЗ);

7. Выделение полного квадрата под корнем;

8. Сравнение значений общих частей уравнения;

9. Функциональный;

10. Геометрический.

Теорема 1: если справ-вы нер-ва: , где А – некоторое число, то на мн-ве X урав-е

Теорема 2: пусть f(x) – непрерыв-я и монотонная ф-ия на промежутке X, тогда уравн-е f(x)=a, где a=const, может иметь не более 1-го реш-я на пром-ке X.

Теорема 3: если f(x) и g(x) – непрерыв-е на промежутке X ф-ии, g(x) – убывает на X, f(x)- возрастает на X. Уравнение может иметь не более 1-го решения на этом пром-ке.

Показательно уравнение –уравнение, в котором неизвестные и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней.

Методы решения показательных уравнений:

1. Метод уравнивания показателей (Представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями);

2. Введение новой переменной;

3. Функционально- графический метод.

Логарифмическое уравн-е – урав-е, содержащее переменную под знаком логарифма.

Методы решения логарифмических уравнений:

1. Преобразование и потенцирование уравнения;

2. Введение новой переменной;

3. Введение параметра.

Тригонометрическое уравнение – урав-е, содержащее переменную под знаком тригоном. ф-ии. (редко присутствуют на олим-ах!!!)

Методы решения тригонометрических уравнений:

1. Сведение к одной функции;

2. Сведение к одному аргументу;

3. Сведение к квадратному уравн-ию;

4. Метод замены переменной;

5. С помощью преобраз-ия суммы тригоном. ф-ий и обратное.

6. Введение вспомогательного угла;

7. С помощ. формул 3-го эл-та;

8. Разложение на множители;

9. Применение ограниченности триго-их ф-ий (использов-е св-в ф-ии);

10. Универсальные тригоном-е подстановки;

Нахождение решений системы или совок-ти уравнений:

1. С помощ. ед-ой окруж-ти,

2. С помощ. коорд-ой прямой,

3. Аналитически.

Способы решения систем тригон-их уравн-ий:

1. Способ подстановки;

2. Способ алгебр-го сложения;

3. возведение обеих частей уравнения в степень;

4. подчленное деление частей уравнений.