Лабораторна робота №1.

Тема: Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (метод Крамера, матричний метод)

Мета: Навчитись отримувати розв’язки систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера та матричним методом

Теоретичні відомості

Метод Крамера — один зі способів розв’язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь з ненульовим визначником основної матриці (для таких рівнянь існує єдиний розв’язок). Метод винайдений Габріелем Крамером в 1750 году.

Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими має вигляд

Введемо позначення

Якщо , то система має єдиний розв’язок і справедливі формули Крамера

Якщо , то система не має розв’язків. Якщо , то система має безліч розв’язків.

Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими має вигляд

Аналогічно введемо позначення:

Якщо , то система має єдиний розв’язок і його знаходять за формулами Крамера

Якщо а одне з чисел не дорівнює нулю, то система не має розв’язків. Якщо , то система має безліч розв’язків.

Аналогічно формули Крамера справедливі для n лінійних рівнянь з n невідомими.

Для системи з n лінійних рівнянь з n невідомими

з визначником основної матриці системи Δ, відмінним від нуля, розв’язок записується у вигляді

( -й стовпець матриці системи замінюється стовпцем вільних членів).

Для знаходження визначників в Excel є вбудована функція МОПРЕД().

Матричний метод

Легше за все в Excel реалізується матричний метод розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Для цього систему треба записати в матричній формі: .

Тут А – матриця коефіцієнтів, х – вектор невідомих, а b – вектор правої частини рівняння. Для розв’язку данного матричного рівняння обидві його частини множаться на матрицю, обернену до А:

.

За означенням, добуток матриці на обернену до неї дає одиничну матрицю, а добуток одиничної матриці на будь-який вектор рівен даному вектору, тому рівняння перетворюється до наступного вигляду:

Для знаходження оберненої матриці в Excel є вбудована функція МОБР().

Завдання: розвязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера і матричним методом:

Метод Крамера

1. Запустіть програму Microsoft Excel, збережіть файл у робочу папку під назвою СЛАР.xls

2. Перейменуйте робочий аркуш Лист1 у метод Крамера.

3. Оформіть початок листа згідно малюнку.

4. У діапазоні комірок B7:D9 введіть значення відповідних коефіцієнтів при змінних x, y, z даної системи.

5. Для обчислення визначника (складеного з відповідних коефіцієнтів при змінних системи) в комірці F8 введіть формулу: =МОПРЕД(B7:D9).

6. Для знаходження у діапазоні комірок B12:D14 введіть в перший стовпець значення вільних членів (числа 1,5,6); в другий і третій стовпці введіть значення коефіцієнтів біля відповідних змінних y та z системи.

7. В комірці F13 обчисліть аналогічно пункту 5.

8. Знайдіть ,для цього у діапазоні B17:D19 в перший і третій стовпець введіть відповідні коефіцієнти змінних x та z, а в другий – вільні члени.

9. В комірці F18 обчислимо аналогічно пункту 5.

10. Обчисліть аналогічно значення в комірці F23, для цього введіть в діапазон B22:D4 в третій стовпець вільні члени, а в перший і другий – коефіцієнти при змінних х та у системи.

11. Обчисліть значення першої змінної х, для цього в комірці І8 введіть формулу: =F13/F8.

12. В комірці I12 знайдіть значення у: =F18/F8.

13. Аналогічно в комірці I16 знайдіть значення z: =F23/F8.

Для того щоб ввести позначення , , , та інші, скористайтесь редактором формул MathType 5.0 Equation (Вставка→Объект→MathType 5.0 Equation).

Матричний метод

14. В існуючому файлі перейменуйте Лист2 у Матричний метод

15. В комірці В3 введіть , тепер введіть матрицю коефіцієнтів А і вектор правої частини b.

16. В комірці А5 введіть Вихідна матриця А.

17. У діапазоні А6:С8 введіть елементи матриці А.

    2	-1	-1
    1	2	3
    1	3	4

18. В комірці Е5 введіть Права частина (b).

19. 1

    5

    6

    У діапазоні Е6:Е8 введіть компоненти вектора правої частини.

Далі необхідно знайти матрицю, обернену до матриці А, і помножити цю матрицю на вектор b.

20. В комірці А10 введіть Обернена матриця (1/А).

21. Виділіть діапазон А11:С13, введіть формулу:

=МОБР(А6:С8) і натисніть комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter для вставки цієї формули у всі комірки вибраного діапазону.

22. В комірку Е10 введіть: Вектор розв’язку .

23. Виділіть діапазон Е11:Е13 і введіть формулу:

=МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8) і натисніть комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter.

В комірках Е11:Е13 повинні стояти значення компонентів вектора розв’язку x, y, z.

Завдання для самостійної роботи.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23) 24)

25) 26) 27)

28) 29) 30)