5. Встановлення кореляційних залежностей між показниками виробничо-господарської діяльності підприємства

Взаємозв’язок між факторами, що досліджуються, і результативним показником проявиться, якщо для дослідження взято велику кількість спостережень. Тоді у відповідності до закону великих чисел, вплив інших факторів на результативний показник нівелюється. Звідси, кореляційний (стохастичний) зв’язок – це неповний, ймовірністний зв’язок між показниками, що проявляють себе тільки у масі спостережень. Розрізняють парну і множинну кореляції. Парна кореляція – це зв’язок між двома показниками, один з яких є факторним, а другий результативним. Множинна кореляція виникає при взаємодії декількох факторів з результативним показником.

Вид залежності (лінійна, квадратична, показникова тощо) визначається з виду кореляційного поля. Для цього в системі координат будують точки, координатами яких є статистичні дані, що досліджуються.

Для побудови кореляційної залежності доцільно використати метод найменших квадратів, який полягає у тому, що квадрат відхилення теоретичного (обчисленого у припущенні певного виду залежності) і статистичного (одержаного на основі статистичних даних) значень функції буде мінімальним.

(5.1)

5.1. Побудова рівняння лінійної функції

Розглянемо випадок, коли є лінійною функцією з невідомими параметрами a i b. Тоді величина відхилення , а сума їх квадратів

.

є функцією двох змінних a i b ( x_i, y_i – статистичні значення). За необхідною умовою існування екстремуму, функція S (a, b) приймає мінімальне значення при таких значеннях параметрів a i b , при яких частинні похідні по цих змінних дорівнюють нулю, тобто коли

Прирівнюючи до нуля частинні похідні, отримуємо систему рівнянь

(5.2)

Розв'язуючи систему рівнянь (5.2), знаходять параметри a i b , які підставляють у рівняння що і дає формулу шуканої залежності.

Наприклад.

Статистичні дані чистого прибутку П підприємства і обсягів виробленої продукції наведено у вигляді таблиці.

П	1,32	0,35	1,03	2,31	2,96	3,26	4,13	5,66	6,31	7,26
	3,19	4,05	5,29	6,45	7,02	7,29	11,07	9,01	10,05	10,86

Припускаючи, що між змінними і П існує лінійна залежність, знайти емпіричну формулу за методом найменших квадратів.

Складемо розрахункову таблицю.

Q	П	Q 2	Q П	(П)
1,32	3,19	1,7424	4,2108	5,1651
0,35	4,05	0,1225	1,4175	4,1388
1,03	5,29	1,0609	5,4487	4,8582
2,31	6,45	5,3361	14,8995	6,2125
2,96	7,02	8,7616	20,7792	6,9002
3,26	7,29	10,6276	23,7654	7,2176
4,13	11,07	17,0569	45,7191	8,1380
5,66	9,01	32,0356	50,9966	9,7568
6,31	10,05	39,8161	63,4155	10,4445
7,26	10,86	52,7076	78,778436	11,4496
34,59	74,28	169,2673	309,4307	74,2813

За формулою (5.2) знайдемо коефіцієнти рівняння прямої лінії регресії

За формулами Крамера знайдемо розв’язок системи

Таким чином, рівняння прямої лінії регресії набуде вигляду

За допомогою знайденого рівняння заповнимо два останні стовпці розрахункової таблиці. Як видно із значення суми, рівняння знайдено правильно. На рисунку 5.1 представлено кореляційне поле, побудоване за статистичними даними, та рівняння прямої, побудоване за допомогою знайденого рівняння прямої лінії регресії.

Рис. 5.1. Графік залежності прибутку від обсягів виробництва продукції