§ 3.5. Косой изгиб

Косым называется изгиб, при котором направление действия усилия не совпадает с направлением одной из главных осей поперечного сечения элемента (рис. III.7, а). В этом случае действующее усилие раскладывают по направлению главных осей сечения, затем на­ходят изгибающие моменты, действующие в этих плос­костях.

Нормальные напряжения находят по формуле

σ_и=М_х/W_{x +}M_y/W_y≤R_и

где М_х, My — изгибающие моменты, например при равномерно рас­пределенной нагрузке от q_x и q_y

Полный прогиб равен геометрической сумме проги­бов от усилий q_x и q_y:

f= √(f_x²+ f_y²)≤f_пред

Для прямоугольного сечения наименьшее значение площади поперечного сечения при косом изгибе будет при условиях расчета: по прочности, если h/b=ctga; по прогибу, если h/b = √ctg a.

Следует иметь в виду, что элемент, имеющий квад­ратное поперечное сечение, на косой изгиб не работает, так как он всегда деформируется в плоскости действия усилия. Однако формально напряжения в нем определя­ют по формуле косого изгиба:

σ_и=М_{х +}M_y/W≤R_и

При косом изгибе увеличиваются размеры прогонов прямоугольного сечения, поэтому надо конструктивными мерами исключать работу элементов на косой изгиб. Так, например, применительно к кровельному покрытию можно исключить работу прогонов на косой изгиб, вос­принимая скатную составляющую вспомогательными стропильными ногами, расположенными по прогонам и скрепленными с ними, а также соединенными друг с другом в коньке здания.

§ 3.6. Сжато-изгибаемые элементы

Сжато-изгибаемыми элементами называются такие, на которые действует изгибающий момент и централь­но приложенное продольное сжимающее усилие. Изги­бающий момент может создаваться: а) внецентренно приложенной сжимающей силой и тогда элемент назы­вают внецентренно сжатым или б) поперечной нагруз­кой. При расчете сжато-изгибаемых деревянных стерж­ней применяют теорию краевых напряжений, предложен­ную проф. д-ром техн. наук К- С. Завриевым. В соответст­вии с этой теорией несущая способность стержня счита­ется исчерпанной в тот момент, когда краевое напряжение сжатию делается равным расчетному сопротивлению.

Эта теория менее точная, чем теория устойчивости, однако она дает более простое решение и поэтому при­нята в действующих нормах проектирования СНиП П-25-80.

Так как жесткость стержня не является бесконечной, то он под влиянием изгибающего момента прогибается.

При этом центрально приложенная сжимающая сила теперь уже будет иметь эксцентриситет, равный дефор­мации стержня от момента, и таким образом создаст дополнительный момент (рис. 111:8). Появление допол­нительного момента от нормальной силы увеличит де­формацию стержня, что приведет к еще большему воз­растанию дополнительного момента. Такое наращивание дополнительного момента и прогибов будет некоторое время продолжаться, но затем затухнет.

Полный прогиб стержня и уравнение кривой неизве­стно, поэтому непосредственно по формуле краевых на­пряжений нельзя найти эти напряжения:

σ_c = N/F + M_q/W + Ny_mzxIW, (III.27)

где М_я — изгибающий момент от поперечной нагрузки; у — деформа­ция стержня.

Полный изгибающий момент стержня

M_x = M_q + Ny. (III.28)

Так как в двух написанных уравнениях есть три неиз­вестных σ_с, у, М_х, то следует найти еще одно уравнение. Всякую кривую можно аналитически выразить в виде ряда, который при этом должен быть быстро сходящим­ся и удовлетворять краевым значениям. Таким является тригонометрический ряд

y = f1 sin πx/l + f ₂ sin 2π x/l + f_s sin Зπ х/1 + ... .

Геометрическая интерпретация ряда показана на рис. III.9. Как видно, fi есть максимальная ордината кривой каждого члена ряда.

При симметричной нагрузке первый член ряда дает точность, равную 95—97 %. Для упрощения решения бу­дем считать нагрузку симметричной. Тогда можно огра­ничиться только первым членом ряда

y = f₁sin(πx/l). (III.29)