Теоретический материал
О
пределенный
интеграл широко применяется при
вычислениях различных геометрических
фигур и физических величин.
Найдем площадь
криволинейной трапеции, ограниченной
кривой
,
осью
и двумя прямыми
и
,
где
,
(рис. 1).
Так как дифференциал
переменной площади
есть площадь прямоугольника с основанием
и высотой
,
то есть
,
то, интегрируя это равенство в пределах
от
до
,
получим
.
Если
криволинейная трапеция прилегает к оси
так, что
,
(рис. 2), то дифференциал переменной
площади
равен
,
откуда
.
В том случае, когда
криволинейная трапеция, ограниченная
кривой
,
осью
и прямыми
и
,
лежит под осью
(рис.3), площадь находится по формуле
.
Если фигура,
ограниченная кривой
,
осью
и прямыми
и
,
расположена по обе стороны от оси
(рис. 4), то
.
Пусть фигура
ограничена двумя пересекающимися
кривыми
и
,
и прямыми
и
,
где
и
(рис. 5). Тогда ее площадь находится по
формуле
.
Примеры
Задание:
Вычислить площади фигур, ограниченных
указанными линиями
,
,
и
(рис. 6).
Р
ешение:
квадратичная функция;
;
график – парабола, ветви направлены
вверх. Найдем координаты вершины
параболы:
,
отсюда следует, что
.
Таким образом, вершина параболы имеет
координаты:
.
Найдем площадь полученной фигуры:
рис. 6
.
Ответ:
Задания для практической работы
Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми
,
,
и осью абсцисс.Найдите площадь фигуры, заключенной между осями координат и прямыми
и
.Найдите площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы
и прямыми
,
.Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой
,
прямыми
,
и осью абсцисс.Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой
,
осями координат и прямой
.Найдите площадь фигуры, заключенной между прямыми
,
,
и
.Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями
и
.Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями
и
.Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями
и
.Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями
и
.
Вопросы для самоконтроля:
По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся над осью ?
По какой формуле вычисляется площадь фигуры прилегающей к оси ?
По какой формуле вычисляется площадь фигуры, находящейся под осью ?
По какой формуле вычисляется площадь фигуры расположенной по обе стороны оси ?
По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченной двумя пересекающимися кривыми?
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5
Практическая работа №17
Тема: Нахождение области определения и вычисление частных значений для функции нескольких переменных
Цель: Формирование навыков нахождения области определения и вычисления частных значений для функции нескольких переменных
Время выполнения: 2 часа
Требования к выполнению практической работы:
1.Ответить на теоретические вопросы.
2.Оформить задания в тетради для практических работ.