Глоссарий

№	Основной термин	Краткие определения терминов
1.	Векторная величина	Физическая величина, характеризующаяся кроме числового значения еще и направлением в пространстве.
2.	Физическое поле	Особая форма материи, представляющая собой систему, характеризуемую непрерывным распределением физических величин в пространстве и обладающую бесконечным числом степеней свободы.
3.	Волновое уравнение	Дифференциальное уравнение в частных производных, решения которого описывают распространение в пространстве волн различной природы.
4.	Циркуляция вектора по замкнутому контуру	Интегральная характеристика векторного поля, равная сумме произведений длин элементарных участков контура на касательные составляющие вектора к этим участкам.
5.	Вихревое поле	Векторное поле, циркуляция которого по какому-либо замкнутому контуру отлична от нуля.
6.	Потенциальное поле	Векторное поле, циркуляция которого по какому-либо замкнутому контуру равна от нуля.
7.	Колебания	Движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени.
8.	Гармоническое поле	Поле, лапласиан которого равен нулю.
9.	Оператор Гамильтона (гамильтониан)	Векторный оператор дифференцирования
10.	Оператор Лапласа (лапласиан)	Скалярный оператор дифференцирования второго порядка

Лекционный комплекс

Раздел 1 векторный анализ и математическая теория поля

Тема 1.1 Введение. Основы векторного анализа

Цель и задачи предмета. Физические поля. Математический аппарат, описывающий физические поля.

Скалярные, векторные и тензорные величины. Основные формулы векторной алгебры. Вектор-функция скалярного аргумента. Дифференцирование и интегрирование вектор-функций.

Ключевые слова: физическая величина, скаляр, вектор, тензор, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов, двойное векторное произведение векторов, длина вектора, единичный вектор, вектор-функция, физическое поле.

Физика в своем историческом развитии постепенно превращалась из науки описательной в науку точную. Для характеристики различных явлений и процессов, происходящих в природе и технике, физики все шире используют математические методы.

Для этой цели пришлось прежде всего ввести меру каждого физического свойства. Пока физики имели дело с простейшими свойствами, в качестве меры каждого из них можно было ограничиться скалярными величинами, обычно показывающими, во сколько раз мера данного свойства у рассматриваемого тела больше некоторого единичного масштаба. Так были введены такие скалярные величины, как длина, площадь, объем, масса, время, температура, электрический заряд, энергия и т. п.

Со временем выяснилось, что для количественного описания быстроты движения, изменения этой быстроты, взаимодействия тел и т. п. скалярные величины не подходят. В этих случаях оказались пригодными более сложные математические величины – направленные отрезки, или векторы.

В конце XIX века физикам стало ясно, что для характеристики деформаций, инерции при вращательном движении, усилий в деформированных твердых телах и т.п. необходимы величины еще более сложной математической природы – тензоры.

Развитие количественных методов показало, что одно и то же физическое свойство в разных точках исследуемого объекта может принимать различные значения, и поэтому для математического описания необходимо знать совокупность значений соответствующей величины во всех точках рассматриваемого объекта. Так в физике постепенно сложилось представление о математическом поле – области пространства, каждой точке которой соответствует определенное значение некоторой физической величины.

Основная задача математической физики – это аналитическое исследование скалярных, векторных и тензорных полей физических величин.

В математической физике рассматриваются две проблемы – прямая и обратная. Прямая проблема состоит в следующем. Задано правило определения интересующей нас физической величины в любой точке пространства, т.е. задано поле; требуется установить характер этого поля, т.е. быстроту его изменения от точки к точке. Изучением дифференциальных свойств различных полей занимается математическая теория поля.

Обратная проблема состоит в нахождении некоторой физической величины, т.е. конкретного вида математического поля, если известны условия, в которой находится физический объект.

Изучением методов интегрирования дифференциальных уравнений занимается вторая часть математической физики – теория дифференциальных уравнений в частных производных.

Совокупность теории поля и теории дифференциальных уравнений в частных производных образует так называемую классическую математическую физику.

Однако за последние несколько десятков лет в связи с успехами теории относительности и открытием качественно новых, квантовых свойств у микрочастиц (молекул, атомов, ядер, электронов и т.п.) задачи математической физики значительно расширились: появилась необходимость в изучении полей комплексных величин в комплексном пространстве, в использовании для их исследования не только методов математического анализа, но и сравнительно новой математической науки – линейной алгебры, являющейся своеобразным сочетанием алгебраической теории систем уравнений первой степени и аналитической геометрии n-мерных плоских пространств.

Скалярные величины показывают во сколько раз мера данного свойства у рассматриваемого тела больше некоторого единичного масштаба. К скалярным величинам относятся длина, объем, масса, время, работа, температура, давление, электрический заряд, энергия и другие.

Для количественного описания быстроты движения, изменения этой быстроты, взаимодействия тел скалярные величины не подходят. В этих случаях пригодны более сложные математические величины – направленные отрезки, или векторы. К векторным величинам относятся скорость, ускорение, сила, импульс, момент импульса, импульс силы и другие.

Для характеристики деформаций, инерции при вращательном движении, усилий в деформированных твердых телах и т.п. необходимы величины еще более сложной математической природы – тензоры. К тензорным величинам относятся тенор электромагнитного поля, тензор инерции, тензор напряжений, тензор деформаций и другие.

Основные формулы векторной алгебры, применяемые в физических приложениях:

1. Разложение вектора по ортам прямоугольной декартовой системы координат :

,

где – координаты вектора .

2. Длина вектора :

.

3. Скалярное произведение двух векторов и :

4. Векторное произведение двух векторов и :

,

длина которого равна

.

5. Смешанное произведение трех векторов , и :

.

Основное свойство смешанного произведения трех векторов:

.

6. Двойное векторное произведение трех векторов , и :

.

7. Произведения, содержащие более двух векторов:

.

8. Тождество Эйлера-Лагранжа:

.

В физике часто используются переменные векторы, зависящие от скалярного аргумента. Например, сила может быть функцией времени или координат, напряженность электрического или гравитационного поля – функцией координат и т.д. Если каждому допустимому значению скалярного аргумента соответствует определенное значение модуля и определенное направление вектора в пространстве, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента .

Задание вектор-функции равносильно заданию трех скалярных функций – координат вектора :

.

Основные правила дифференцирования вектор-функции:

1. Если – постоянный вектор, то .

2. Если , – вектор-функции, то .

3. Если , то .

4. Если – скалярная функция, то .

5. Если , – вектор-функции, то .

6. Если , – вектор-функции, то .

7. Если , , – вектор-функции, то .

8. Если – функция скаляра , то .

Основные правила интегрирования вектор-функции:

1. , где .

2. .

3. , где – некоторая первообразная для на отрезке