2.1.6. Дифференциальное уравнение теплопроводности и методы его решения.

— Дифференциальное уравнение теплопроводности (ДУТ) в декартовой системе координат имеет следующий вид:

,

где Т – температура (К); t – время (с); а – коэффициент тмпературопроводности (м²/с); ²Т=²T/x²+²T/y²+²T/z² (К/м²) – оператор Лапласа (сумма вторых производных от температуры по осям координат), название этого значка  – "набла". Это никакая не буква какого-либо алфавита, это символ, означающий название финикийского музыкального инструмента, у нас он называется "треугольник" – запаянная с одного конца полая металлическая трубка в виде треугольника, по которой ударяют металлической палочкой. Инструмент этот широко применялся старыми мастерами: Бахом, Генделем...; q_v – интенсивность внутренних источников (или стоков) тепла (Вт/м³); С – теплоемкость (Дж/(кгК));  – плотность (кг/м³).

— Различают прямую и обратную задачу теплопроводности. В первом случае при определенных заданных условиях определяется температура как функция координат и времени (распределение температур). Во втором случае при заданном распределении температур определяются какие-либо теплофизические характеристики или интенсивность внутренних источников (или стоков) тепла.

— Это уравнение имеет бесчисленное множество решений. Чтобы получить единственное решение, к уравнению надо присовокупить условия однозначности. Эти условия подразделяются на четыре категории. Геометрические условия (задача решается для тела определенной формы: пластина, цилиндр, шар, конус, тор и т.п.). Физические условия: для определения температуры (прямая задача) необходимо знать численные значения теплофизических характеристик (, а, С, ) и интенсивность внутренних источников q_v. Начальные (временные) условия: в начальный момент времени (t=0) необходимо знать распределение температур. Граничные условия чаще всего используются I, II и III рода. Граничные условия I рода: при t>0 должна быть известна температура поверхности в любой момент времени. Граничные условия II рода: при t>0 должен быть известен удельный тепловой поток на поверхности в любой момент времени. Граничные условия III рода: при t>0 должна быть известна температура окружающей среды и должен быть задан закон теплового взаимодействия поверхности тела и среды в любой момент времени (в простейшем случае должен быть известен коэффициент теплоотдачи от окружающей среды к поверхности тела, или наоборот).

— Различают три метода решения ДУТ. Аналитические методы в свою очередь подразделяются на метод разделения переменных и метод интегральных преобразований, когда дифференциальное уравнение в частных производных заменяется на обыкновенное дифференциальное уравнение или алгебраическое уравнение. Особое развитие в связи с повсеместным применением вычислительной техники получили численные методы, в которых бесконечно малые приращения функции и аргумента заменяются конечными приращениями. Что же касается метода аналогий, то его применение в настоящее время ограничено.

2.1.7. Использование расчетных методов для ориентировочной оценки свойств полимеров.

— Принцип аддитивности представляет собой весьма эффективное средство в полуэмпирическом подходе к исследованию физических характеристик, вообще, и характеристик полимеров, в частности. Этот принцип означает, что большое количество характеристик, рассчитанных на моль вещества, можно вычислить путем суммирования вкладов атомов, групп или связей. Для практических целей следует отдать предпочтение методу групповых вкладов.

— Процедура формирования аддитивных величин определяется наличием корреляций между ними и какими-либо индивидуальными свойствами веществ. Например, линейная зависимость кубического корня из продольной скорости звука от плотности обусловливает возможность построения аддитивной молярной функции Рао U (эластохор):

Здесь u_L – скорость продольной волны (м/с); U – функция Рао мономерного звена (м^10/3с^-1/3моль^-1); V – молярный объем мономерного звена (м³/с);  – коэффициент Пуассона; а – коэффициент температуропроводности (м²/с); l – длина свободного пробега фонона (принимается 610^-11 м).

Для полимеров в стеклообразном состоянии  составляет 0.33, для кристаллического состояния – 0.40 и, наконец, в случае каучуков – 0.49. тогда поправка составляет 0.994, и можно пользоваться третьей упрощенной формулой.

Таким образом, знание структуры мономерного звена позволяет прогнозировать величину функции Рао и далее скорость звука, теплопроводность и модуль упругости. Однако в ряде случаев при расчетах свойств по групповым вкладам (инкрементам) наблюдаются резкие различия между расчетными и экспериментальными величинами. Анализ причин таких различий представляет собой существенный источник информации для изучения структуры вещества и механизма протекающих в нем процессов.