8. Другий закон кірхгофа

Другий закон Кірхгофа можна сформулювати так у всякому замкненому електричному колі алгебраїчна сума всіх ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі спадів напруг на опорах, приєднаних послідовно в це коло, тобто

Для складання рівнянь довільно вибирають напрямок обходу кола і напрямок протікання струму.

Якщо в електричне коло ввімкнено два джерела енергії, ЕРС яких вбігаються за напрямком, тобто ввімкнені згідно (рис. 8, а), то ЕРС

усього кола дорівнює сумі ЕРС цих джерел: Е = Е₁ + Е₂. Якщо ж у коло ввімкнено два джерела, ЕРС яких мають протилежні напрямки, тобто ввімкнені зустрічно (рис. 8, б), то загальна ЕРС кола дорівнює різниці між ЕРС цих джерел: Е = Е₁ — Е₂.

У разі послідовного ввімкнення в електричне коло кількох джерел енергії з різними напрямками ЕРС загальна ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС усіх джерел. Додаючи, ЕРС одного напрямку беруть зі знаком плюс, а ЕРС протилежного напрямку — зі знаком мінус.

Замкнене коло є частиною складного кола (рис. 9, де замкнене коло позначено літерами а, б, в, г). Оскільки з точок а, б, в, г відходять відгалуження, то сили струмів I₁, I₂, I₃, I₄, відрізняючись значеннями, можуть мати різні напрямки. Для такого кола, згідно з другим законом Кірхгофа, можна записати: Е₁ — Е₂ — E₃ = I₁ (R₀₁ + R₁) +I₂ (R₀₂ +R₂) + I₃ (R₀₃ + R₃) + I₄R₄, де R₀₁, R₀₂, R₀₃ — внутрішні опори джерел енергії; R₁, R₂, R₃, R₄ — опори приймачів енергії.

В окремому випадку, за відсутності відгалужень і послідовного з'єднання провідників, загальний опір дорівнює сумі всіх опорів. Якщо зовнішнє коло джерела енергії з внутрішнім опором R₀ складається, наприклад, із трьох послідовно з'єднаних резисторів з, опорами відповідно R₁, R₂, R₃, то на основі другого закону Кірхгофа можна записати: Е = I(R₀ + R₁ + R₂ + R₃). Якби було кілька джерел струму, то ліва частина цього рівняння являла б собою алгебраїчну суму ЕРС цих джерел.

За паралельного з'єднання двох чи більше джерел енергії сили струмів, що проходять у них, у загальному випадку неоднакові.

Якщо два паралельно з'єднані джерела енергії (рис. 10), які мають ЕРС Е₁ та Е₂ і внутрішні опори R₁ та R₂, замкнути на якийсь зовнішній опір R, то сили струмів у зовнішньому колі I і в джерелах I₁ та I₂ можна визначити з таких виразів: I = I₁ + I₂; I = U/R; I₁ = (Е₁— U)/R₁; I₂ = (Е₂ — U)/R₂. Звідси сила струму у зовнішньому колі I = (E₁R₂ + E₂R₁)/(R₁R₂ + RR₁ + RR₂). Сили струмів, що протікають через перше і друге джерела енергії: I₁ = (E₁ - IR)/R₁; I₂ = (E - IR)/R₂

9. Розрахунок складних електричних кіл

У складному електричному колі може бути кілька замкнених контурів з будь-яким розміщенням джерел енергії та приймачів. Через те такі складні кола не можна звести до поєднання послідовних і паралельних з'єднань.

Використовуючи закон Ома та два закони Кірхгофа, можна знайти розподіл сил струмів і напруг на всіх ділянках будь-якого складного кола.

Одним із методів розрахунку складних електричних кіл є метод накладання струмів, суть якого полягає в тому, що сила струму в будь-якому відгалуженні являє собою алгебраїчну суму сил струмів, що утворюються в ній кожною окремою ЕРС кола. На рис. 11 зображено коло, у складі якого три джерела з ЕРС Е_1, Е₂ та Е₃ і чотири послідовно з'єднані резистори R1, R2, RЗ, R4.

Якщо знехтувати внутрішнім опором джерел енергії, то загальний опір кола R = R₁ + R₂ + R₃ + R₄. Припустимо спочатку, що ЕРС першого джерела Е₁ ≠ 0, а другого й третього Е₂ = 0 і Е₃ = 0. Потім візьмемо Е₂ ≠ 0, а Е₁ = 0 і Е₃ = 0. І нарешті приймемо E₃ = 0, а Е₁ = 0 і E₂ = 0. У першому випадку сила струму в колі, який збігається за напрямком з ЕРС Е₁ дорівнює І₁ = Е₁/R; у другому випадку струм у колі збігається за напрямком з ЕРС Е₂ і I₂ = Е₂/R; у третьому випадку сила струму I₃ = Е₃/R і збігається за напрямком з ЕРС Е₃. Оскільки ЕРС Е₁ та Е₃ збігаються за напрямком у контурі, то й струми І₁ та I₃ також збігаються, а струм I₂ має протилежний напрямок, через те що ЕРС Е₂ спрямована зустрічно відносно ЕРС Е₁ та E₃. Отже, сила струму в колі

Напруга на будь-якій ділянці кола, наприклад між точками а і б, U_аб = IR₄.

Для визначення сили струму у всіх відгалуженнях кола треба знати опір відгалужень, а також значення і напрямок усіх ЕРС.

Перед складанням рівнянь за законами Кірхгофа треба довільно прийняти напрямки струмів у відгалуженнях і показати їх на схемі стрілками. Якщо дійсний напрямок струму в будь-якому відгалуженні протилежний вибраному, то після розв'язання рівнянь цей струм буде зі знаком мінус. Кількість потрібних рівнянь дорівнює кількості невідомих струмів, причому кількість рівнянь, що складаються за першим законом Кірхгофа, має бути на одиницю менша від кількості вузлів у колі; решта рівнянь складаються за другим законом Кірхгофа, причому слід вибрати найбільш прості контури і так, щоб у кожному з них було б хоч одне відгалуження, яке не входило в раніше складені рівняння.

Розрахунок складного кола з застосуванням рівнянь, складених за законом Кірхгофа, розглянемо на прикладі двох паралельно з’єднаних джерел, замкнених на опір (див. рис. 10). Нехай ЕРС джерел Е₁ = Е₂ = 120 В, їх внутрішній опір R₁ = 3 Ом і R₂ = 6 Ом, опір навантаження R = 18 Ом.

Оскільки невідомо три сили струмів, то потрібно скласти три рівняння. При двох вузлових точках необхідне одне вузлове рівняння ва першим законом Кірхгофа: I = I₂ + I₂. Друге рівняння запишемо при обході контура, який складається з першого джерела та опору навантаження: Е₁ = І₁R₁ + ІR. Аналогічно запишемо третє рівняння: Е₂ = І₂R₂ + ІR. Підставивши цифрові значення, маємо: 120 В = = 3I₁ + 18I та 120 В = 6I₂ + 18I. Оскільки Е₁ — Е₂ = I₁R₁ — І₂R₂ = 3I₁ - 6I₂ = 0, то I₁ = 2I₂ та I = 3I₂. Після підстановки цих значень у вираз для Е₁ маємо 120 = 2I₂ · 3 + 18 · 3I₂ = 60I₂, звідки I₂ = 120/60 = 2 А, І₁ = 2I₂ = 4 А, I = I₁ + I₂ = 6 А.

У складному електричному колі з двома вузловими точками а і б (рис. 12, а) і складеному з кількох паралельно з'єднаних джерел енергії, що працюють на загальний приймач, зручно використати метод вузлових напруг. Позначивши потенціали у вузлових точках через φ_a і φ_б, напругу між цими точками и виразимо різницею цих потенціалів: U = φ_а —φ_б.

Якщо взяти за додатний напрямок ЕРС і струмів у відгалуженнях від вузла а до вузла б, то можна записати рівняння: I₁ = (φ_а — φ_б — Е₁)/R₁ = (U - Е₁) g₁; I₂ = (φ_а - φ_б + E₂)/R₂ = (U + Е₂) g₂; I3 = (φ_а — φ_б — Е₃)/R₃ = (U — E₃) g₃; I = (φ_а — φ_б)/R = Ug.

На основі першого закону Кірхгофа для вузлової точки маємо I₁ + I₂ + I₃ + І = 0. Підставивши в цю суму значення сил струмів, знайдемо:

(U - Е₁) g₁ + (U + E₂)g₂ + (U - Е₃)g₂ + Ug = 0.

Звідси

U = (E₁g₁ - E₂g₂ + E₃g₃)/(g₁ + g₂ + g₃ + g) = ΣEg/ Σg,

тобто вузлова напруга дорівнює алгебраїчній сумі добутків ЕРС і провідностей паралельних відгалужень, поділеній на суму провідностей усіх відгалужень. Обчисливши за цією формулою вузлову напругу і скориставшись виразом для сил струмів у відгалуженнях, легко визначити ці сили струмів.

Для визначення сил струмів у складних колах з кількома вузловими точками та ЕРС, застосовують метод контурних струм і в, який дає змогу скоротити кількість рівнянь, що підлягають розв'язанню. Припускають, що у відгалуженнях, які входять до складу двох суміжних контурів, протікають два контурні струми, перший з яких являє собою струм одного з суміжних контурів, а другий — другого контуру. Дійсний струм на розглядуваній ділянці кола обумовлюється сумою або різницею цих двох струмів залежно від їх взаємного відносного напрямку.

Використовуючи метод контурних струмів, складають рівняння, виходячи з суми опорів, що входять до складу даного контуру, та суми опорів, що входять до складу відгалуження, загального для суміжних контурів. Першу суму умовно позначають подвійним індексом, наприклад R₁₁, R₂₂ і т. д., а другу суму — індексом, який містить номери контурів, для яких дана ділянка кола є спільною, наприклад R₁₂, R₁₃ тощо.

Якщо у контурі є кілька джерел з ЕРС E₁, E₂, E₃ і т. д., то на основі другого закону Кірхгофа для цього контуру можна записати рівняння E₁, ± Е₂ ± E₃ ± ... = I₁R₁₁ + I₂R₁₃ + ... .У цьому рівнянні знак «+» або «—» беруть залежно від взаємного відносного напрямку ЕРС і струмів у контурі (при однаковому напрямку — плюс, при протилежному — мінус). Аналогічні рівняння можна записати для всіх контурів, що входять до складного електричного кола. Отже, алгебраїчна сума ЕРС кожного контуру дорівнює алгебраїчній сумі добутку сили струму в даному контурі на суму опорів усіх ланок, які його утворюють, та добутку сил контурних струмів, суміжних з даним контуром, на опори їх спільних ланок.

На рис. 12, б зображено складне електричне коло з трьома контурами. У колі є два джерела з ЕРС Е₁ = 12 В, E₂ = 8 В і внутрішніми опорами R₀₁ — 4 Ом, R₀₂ = З Ом та п'ять опорів R₁ = 20 Ом, R₂ = 29 Ом, R₃ = 40 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 16 Ом.

Знаходимо опори: R₁₁ = R₁ + R₀₁ + R₁₃ = 20 + 4 + 8 = 32 Ом; R₂₂ = R₂ + R₀₂ + R₂₃ = 29 + 3 + 16 = 48 Ом; R₃₃ = R₃ + R₃₁ + R₃₂ = 40 + 8 + 16 = 64 Ом; R₁₃ = R₃₁ = 8 Ом; R₂₃ = R₃₂ = 16 Ом.

На основі другого закону Кірхгофа складаємо рівняння: для контуру 1: Е₁ = I₁R₁₁ — I₃R₁₃; 1₂ = 32I₁ — 8I₃; для контуру 2: Е₂ = I₂R₂₂ — I₃R₂₃; 8 = 48I₂ — 16I₃; для контуру 3: Е₃ = I₃R₃₃ — І₁R₃₁ — I₂R₃₂; 0 = 64I₃ — 16I₂ — 8I₁.

Розв'язуючи ці рівняння, знаходимо: I₁ = 0,4 A; I₂ = 0,2 A; I₃ = 0,1 A; I₄ = I₁ -I₂ = 0,3 A; I₅ = I₂ - I₃ = 0,1 A.