2.1.2 Подання чисел в еом із плаваючою комою

При використанні чисел з плаваючою комою у розрядну сітку машини записується не тільки саме число в деякому масштабі, але і сам масштаб цього числа. У напівлогарифмічній формі подання будь-яке число x має вигляд:

, (2.4)

де S – основа системи числення, Р_х – ціле число, яке називають порядком масштабу, -мантиса числа, .

У розрядну сітку числа звичайно записується не сам масштаб , а тільки порядок Р_х і мантиса числа. Наприклад, число у = 24.12 у напівлогарифмічній формі в звичайній десятковій системі числення буде мати вигляд:

у = 10²  0,2412 або y = 10³  0,02412 і т.п. (2.5)

Оскільки масштаб числа при його поданні в напівлогарифмічній формі записується в розрядну сітку машини, то операції запам'ятовування, вирівнювання масштабів (порядків) і т.п. виконуються машиною і не потребують особистої участі з боку людини. Правда, після виконання операцій може виникнути потреба в нормалізації мантиси і відповідній зміні порядку. Але ці операції досить просто реалізуються в машині.

При виконанні операцій над числами, поданими у формі з плаваючою комою, можливо одержання результату, порядок якого більший допустимого в машині. Це також варто враховувати при проведенні обчислень. Наприклад, нехай потрібно обчислити z = wv/u, причому w = 1010  0,4, v = 108  0,3 і u = 108  0,2, а максимально допустимий порядок у машині 10¹². Якщо спочатку підрахувати множення wv, то відбудеться так зване переповнення і машина припинить обчислення. Якщо ж спочатку виконати операцію ділення у = w/u, а потім множення yv, одержимо потрібний результат.

При поданні чисел у напівлогарифмічній формі також виникає проблема кодування знака. Вона вирішується так само, як і для подання чисел у формі з фіксованою комою, але додаткових розрядів потрібно вже два – для знака порядку і знака мантиси.

Якщо для подання чисел у напівлогарифмічній формі відведено п розрядів, не враховуючи розрядів для знаків мантиси і порядку, і під запис мантиси відведено т розрядів, то діапазон подання чисел буде визначатися такою нерівністю:

. (2.6)

Розглянемо як приклад розрядну сітку для подання двійкових чисел у 32 розрядах (рис. 2.3).

Рисунок 2.3. Розрядна сітка машини з плаваючою комою (з урахуванням розрядів під знаки мантиси і порядку)

Нехай запис числа має вигляд:

. (2.7)

Перші два розряди виділяються під знаки мантиси (числа) і порядку відповідно, розряди з 3-го по 8-й виділяються під запис модуля порядку, а 24 розряди з 9-го по 32-й – під запис модуля мантиси. Тоді діапазон подання чисел буде визначатися в такий спосіб:

, (2.8)

що приблизно відповідає діапазону чисел від 10^-19 до 10¹⁹.

У ряді машин необхідна точність обчислень викликає необхідність передбачити можливість зміни розрядної сітки для подання чисел. Звичайно ця проблема вирішується шляхом збільшення розрядної сітки вдвічі за рахунок об'єднання двох регістрів машини. Таке подання чисел називається поданням із подвоєною точністю.

З нерівності (2.6) випливає, що чим більший розмір S, тим більший діапазон чисел, які можна подати в цій системі. У зв'язку з цим у деяких обчислювальних машинах отримало поширення подання чисел із плаваючою комою з основою, рівною цілому степеню числа 2, в основному з S = 8 і S = 16. Використання таких основ S призводить до деякого зменшення точності обчислень, але, крім розширення діапазону подання чисел, дозволяє прискорити деякі операції.

Як уже відзначалося, форма подання з плаваючою комою є основною формою подання чисел у сучасних обчислювальних машинах. До її недоліків відносять зменшення продуктивності машини в порівнянні з обчисленнями в природній формі, ускладнення її технічних пристроїв. Наприклад, повинні бути розроблені схеми нормалізації, передбачене устаткування для виконання операцій над порядками і мантисами чисел і т.п. Обчислювальні машини, у яких може бути використана і та й інша форми подання, дозволяють врахувати особливості розв'язуваної задачі і підвищити продуктивність обчислень.

2. Кодування чисел у двійковій системі числення

   Будь-яку кінцеву послідовність нулів і одиниць прийнято називати двійковим кодом. У кожному конкретному випадку цей код має чітку однозначну інтерпретацію.